【導(dǎo)讀】279．什么叫做幾何學(xué)和幾何圖形？系的科學(xué)，也就是研究現(xiàn)實客觀世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的一門科學(xué)。輪的形狀是圓的。魔方有大小之分，魔方的面的大小也是不一樣的；汽車。有大小，自行車也有大小，同樣是車輪，大小也不相同。體與物體之間，有著相互位置關(guān)系。分出了“平面幾何”和“立體幾何”兩個分支。究結(jié)果加以抽象概括，便產(chǎn)生了幾何圖形。屬于立體幾何圖形。在幾何中，用大寫字母表示點(diǎn)。線有直線和曲線等。說，線只有長，而沒有寬和高。此，可以說“體”是由“面”圍成的。的截面、水桶的側(cè)面和底面等都是“面”。直線、射線和線段是易于混淆的三個概念，它們之間也是有聯(lián)系的，們之間的主要方面。直角的大小通常用d來表示，這樣，平角等。于2d，周角等于4d。

　　

【正文】 與發(fā)展的關(guān)系。 同心圓是指：圓心相同，半徑不相等的圓，叫做同心圓（如圖甲）。 圓環(huán)是指：兩個同心圓所夾的部分 ，叫做圓環(huán)（如圖乙）。 如圖甲所示：這兩個圓由于具有相同的圓心，但它們的半徑分別是r1 和 r2（ r1≠ r2），因此它們是同心圓。 圖乙所示：這兩個同心圓所夾的陰影部分，就是一個圓環(huán)，也叫做環(huán)形。 同心圓本身不涉及面積的求法，而圓環(huán)可以求出它的面積。由于圓環(huán)是兩個同心圓的所夾部分 ，因此，圓環(huán)面積就等于大圓面積與小圓面積之差。即： 圓環(huán)面積 =大圓面積 小圓面積 如果用字母來表示，則為： 字母公式中的 r1和 r2分別是大圓和小圓的半徑。 例如：求一個大圓半徑為 3厘米，小圓半徑為 2 厘米的圓環(huán)面積。 解： S=π（ r21r22） =（ 3222） =（平方厘米） 答：這個圓環(huán)的面積是 平方厘米。 307．怎樣推導(dǎo)圓的面積公式？ 推導(dǎo)圓的面積公式必須建立在明確圓的面積概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行。因此，在教學(xué)開始時要先復(fù)習(xí)什么叫面積？然后過渡到對圓面積的認(rèn)識。由于教材中關(guān)于圓的面積公式是通過割、拼的方法，使圓轉(zhuǎn)化為近似長方形，所以，對長方形的面積公式也要進(jìn)行必不可少的復(fù)習(xí)。以達(dá)到以舊引新、新舊結(jié)合，使新知識納入舊知識的網(wǎng)絡(luò)當(dāng)中。 教學(xué)中，當(dāng)明確圓的面積以后，可提出下列問題讓學(xué)生思考后回答。 （ 1）怎樣用字母表示求圓的周 長公式？（ C=2π r） （ 3）怎樣求長方形的面積？（長寬） 然后教師出示根據(jù)教材制作的圓的教具，演示過程可按以下步驟進(jìn)行： （ 1）先把圓分成兩個半圓，每個半圓各分成 8等份，每份分別按順序編上號（如圖）。 （ 2）再將三角形 1分成兩等份，然后將兩個半圓分別散開，附在磁鐵黑板上（如圖）。 （ 3）在磁鐵黑板上，讓上半圓向下滑動，拼 成長方形（如圖） 演示至此，讓學(xué)生觀察這個長方形的長和寬各相當(dāng)于圓的哪部分，然后結(jié)合前面提問所形成的板書進(jìn)行公式推導(dǎo)。 公式推導(dǎo)出后，可讓學(xué)生質(zhì)疑，然后轉(zhuǎn)入應(yīng)用式的反饋練習(xí)。 當(dāng)把圓分成 16等份后，每份是一個假設(shè)三角形時，學(xué)生可能概括出下列公式，教師要?dú)w納引導(dǎo)，最后通過比較，統(tǒng)一到π r2 上來。 （ 1） 1 個假設(shè)三角形的面積 16。 （三角形的底）（高） （ 2） 1 個假設(shè)平行四邊形的面積 8。 （平行四邊形的底）（高） 這個平行四邊形由兩個假設(shè)三角形組成。 （ 3）用 1個假設(shè)的大三角形面積 4。 其公式為： （三角形底）（高） 這個大三角形由四個假設(shè)的小三角形所組成。 308．什么叫做割補(bǔ)法和分割法？ 割補(bǔ)法和分割法都是計算平面幾何圖形面積的推導(dǎo)方法，也是一種思考方法。在面積和體積教學(xué)中，都 有著廣泛的應(yīng)用。 割補(bǔ)法是指：把一個圖形的某一部分割下來，填補(bǔ)在圖形的另一部分，在原來面積不變的情況下，使其轉(zhuǎn)化為已經(jīng)掌握的舊的圖形，以利于計算公式的推導(dǎo)。平行四邊形通過割補(bǔ)可轉(zhuǎn)化為長方形（或正方形），梯形通過割補(bǔ)可轉(zhuǎn)化為平行四邊形，圓通過割補(bǔ)可轉(zhuǎn)化為近似長方形等。 （ 1）平行四邊形割補(bǔ)后轉(zhuǎn)化為長方形： （ 2）梯形割補(bǔ)后轉(zhuǎn)化為平行四邊形： 分割法是指：對一些不規(guī)則圖形的面積，不能使用割補(bǔ)法，可以利用不規(guī)則圖形的凹凸特點(diǎn)，將其分割成若干個可以計算的規(guī)則圖形（如：長方形、三角形、梯形、??），先將各個規(guī)則圖形的面積計算出來，然后再把這些規(guī)則圖形的面積加在一起 ，總面積就是不規(guī)則圖形的面積。這種計算不規(guī)則圖形的方法，叫做分割法。 下面兩個圖形就采用了分割法。 （ 1） （ 2） 左圖 ABDE 是一個不規(guī)則圖形，用分割法可分成一個平行四邊形ABCDE，一個三角形 BCD，把平行四邊形和三角形的面積分別求出來，再把所得的結(jié)果加在一起，就是這個不規(guī)則圖形的面積。 309．體積和容積有什么聯(lián)系和區(qū)別？ 體積和容積是兩個含義不同的概念，但它們之間又有著聯(lián)系。教材中的不少練習(xí)是把求體積和求容積放在一起安徘的，因此，學(xué)生極容易注意了計算公式的相同，而忽視了這兩個概念的不同含義。 一個物體的體積是指這個物體所占有空間的大小。而 容積是指一個物體內(nèi)部空間能夠容納物體的體積。一個容納物品的器皿，譬如一只木箱，從外面量起，確定長、寬、高，它所占空間的大小，就是這只木箱的體積；如果這只木箱從里面量起，確定長、寬、高（或深），里面所能容納物體的大小，就是這只木箱的容積。 從里面量與從外面量，這當(dāng)中在長、寬、高上都會出現(xiàn)長度上的差距，這是因為制作這只箱子用的是木板，木板本身有一定的厚度，從外面量，包括了木板的厚度；從里面量，就減去了木板的厚度。對這只木箱來說，從外面量，就是求它的體積；反之，從里面量，就是求它的容積。 計算體積和容積的 方法是一樣的，如果這個物體是長方體，無論是求體積還是求容積，其計算公式都是長寬高；如果這個物體是圓柱體，求體積或求容積，使用的公式也都是底面積高。 例如：一個長方體木箱，長 80 厘米，寬 50 厘米，高 40厘米，這只木箱里面長 78厘米，寬 48厘米，高 38 厘米，求這木箱的體積和容積各是多少立方分米？ 體積： 80 50 40=160000（立方厘米） =160 立方分米 容積： 78 48 38=142272（立方厘米） ≈ 142 立方分米 在區(qū)分體積和容積概念時，這兩者所使用的單位有時是不同 的。體積使用的單位是立方米、立方分米、立方厘米；容積有時（如液體）則使用升和毫升。它們相鄰單位之間的進(jìn)率都是 1000；換算時， 1立方分米 =1升。 還應(yīng)該看到，有些物體如一塊長方體的磚，就只能計算它的體積，而不能計算它的容積。但用這些長方體的磚砌成一個游泳池，就可以計算游泳池的容積了。 310．如何區(qū)分長方體和正方體？ 由六個長方形（相對的兩個面也可能是正方形）所圍成的六面體，叫做長方體。 交會于一個頂點(diǎn)的長方體的三條棱，叫做長方體的三度。長方體的三度在小學(xué)數(shù)學(xué)中，叫做長方體的長、寬、高。 長 方體有六個面，各相對的兩個面的面積相等。有十二條棱（就是相鄰的面的交線），平行的四條棱的長度相等，有八個頂點(diǎn)（就是每三條棱相交的點(diǎn)），交會于頂點(diǎn)的三條棱，就是長、寬、高。 三度相等的長方體，叫做正方體?；蛘哒f，長、寬、高都相等的長方體，叫做正方體。 與長方體相同的是：正方體也有六個面、八個頂點(diǎn)和十二條棱。 與長方體不同的是：正方體的六個面都是全等的正方形，正方體的十二條棱的長度都相等。 正方體是特殊的長方體。 311．什么叫做圓柱體和圓錐體？ 在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，對圓柱和圓錐都沒有下明確的 定義，為了更好地駕馭教材，作為數(shù)學(xué)教師，有必要較為確切地掌握圓柱和圓錐概念。 圓柱：以矩形的一邊所在直線為軸，其余各邊繞軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體，叫做圓柱體，簡稱圓柱。圓柱可以看成一個矩形 A1AOO1，統(tǒng)一邊 O1O 旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體（如下圖）。 O1O稱為圓柱的軸，垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的兩個圓面，叫做圓柱的底面，平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面，叫做圓柱的側(cè)面，無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都叫做圓柱的母線。圓柱兩個底面之間的距離，叫做圓柱的高。 當(dāng)兩個底面中心的連線垂直于底面時，這種圓柱叫做直圓柱。在小學(xué)里，所說的圓柱，一般都指直圓柱。圓柱的側(cè)面展開成的圖形是一個長方形。 圓柱具有以下幾個性質(zhì)： （ 1）圓柱的軸過兩個底面的圓心，并且垂直于兩個底面； （ 2）用垂直于圓柱的軸的平面去截圓柱，所得的截面是和底面相等的圓； （ 3）用一個過圓柱的軸的平面去截圓柱，所得的截面是一 個矩形，它的兩條對邊是圓柱的兩條母線，另外兩條對邊，分別是兩個底面圓的直徑； （ 4）用一個平行于圓柱的軸的平面去截圓柱，所得的平面是個矩形，它的兩條對邊是圓柱的兩條母線，另外兩條對邊，分別是兩個底面圓的弦。 圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為軸，其余兩邊繞軸旋轉(zhuǎn)而形成的曲 面所圍成的幾何體，叫做圓錐。旋轉(zhuǎn)的軸叫做圓錐的軸，由另一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面，叫做圓錐的底面。由斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面，叫做圓錐的側(cè)面。斜邊無論旋轉(zhuǎn)到任何位置，都叫圓錐側(cè)面的母線。母線的交點(diǎn)叫做圓錐的頂點(diǎn)。從圓錐頂點(diǎn)到圓錐底面的距離，叫做圓錐的高。 上圖所示圓錐，是以直角三角形 ABO 的一條直角邊 AO 為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的，因此，它是一個直圓錐，簡稱圓錐。 圓錐具有以下幾個性質(zhì)： （ 1）圓錐的底面是一個圓，它所在的平面垂直于圓錐的軸； （ 2）圓錐的軸經(jīng)過頂點(diǎn)和底面的圓心，底面圓心和頂點(diǎn)的連線（如圖中 的 AO）就是圓錐的高； （ 3）圓錐的一切母線都交于圓錐的頂點(diǎn)，并且都相等，各條母線與軸的夾角都相等。 （ 4）用一個過圓錐的頂點(diǎn)，并且和底面相交的平面去截圓錐，所得的截面是一個等腰三角形。 （ 5）垂直于軸的圓錐截面是個圓。 312．怎樣推導(dǎo)圓柱的體積公式？ 學(xué)習(xí)圓柱的體積公式是在掌握圓柱的側(cè)面積和表面積的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。由于圓柱的體積公式與圓面積公式和長方體體積公式緊密相連，因此，在準(zhǔn)備練習(xí)時，要復(fù)習(xí)圓面積公式和長方體的體積公式，對圓面積公式要讓學(xué)生通過教具演示說明公式的推導(dǎo)過程，這是因為圓柱的 體積公式與其推導(dǎo)過程是相似的。 新課開始時，在提出課題的同時，可安排學(xué)生看書自學(xué)，教材中有圓柱通過割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化為近似長方體的圖示（如下圖）。 自學(xué)時，教師要安排適當(dāng)?shù)淖詫W(xué)提綱。 如：（ 1）圓柱是怎樣轉(zhuǎn)化為近似長方體的？ （ 2）轉(zhuǎn)化后體積有沒有變化？ （ 3）長方體的各部分 相當(dāng)于圓柱的哪幾部分？ 在自學(xué)、觀察的同時，可圍繞自學(xué)提綱組織學(xué)生進(jìn)行同桌或小組議論。在此基礎(chǔ)上，教師再進(jìn)行用割補(bǔ)法將圓柱轉(zhuǎn)化為近似長方體的教具演示。如果有條件的話，每個小組都應(yīng)準(zhǔn)備一份教具，讓學(xué)生親自動手實踐，效果會更好。 在割補(bǔ)的過程中，要說明分得的底面扇形的柱體越多，拼起來越接近長方體。 演示和討論中，要使學(xué)生明確： （ 1）轉(zhuǎn)化后的近似長方體，其底面積（近似長方形）與圓柱的底面積（圓）是一樣的。可喚起學(xué)生對圓面積推導(dǎo)過程的回憶。 （ 2）轉(zhuǎn)化后近似長方體的高，與圓柱的高是一樣的。 （ 3）要從長方體的體積公式推導(dǎo)出圓柱的體積公式來。 上述的三個問題一旦明確，教師就可結(jié)合準(zhǔn)備練習(xí)時的板書，講解溝通長方體體積公式與圓柱體積公式的聯(lián)系。板書的順序要先出現(xiàn)文字公式，然后再過渡到抽象的字母公式。 公式推導(dǎo)出后，可安排應(yīng)用公式的反饋練習(xí)。在練習(xí)時，要提醒學(xué)生注意以 下幾個問題： （ 1）要認(rèn)真審題（包括審圖），看清單位和要求； （ 2）條件中計量單位不一致時，要先統(tǒng)一單位，然后再按公式進(jìn)行計算； （ 3）要按規(guī)范的格式書寫，并按要求答題。