20xx屆二輪復(fù)習(xí)---專(zhuān)題三數(shù)列-數(shù)列求和及綜合應(yīng)用-課時(shí)作業(yè)(全國(guó)通用)-資料下載頁(yè)
2025-04-03 02:57本頁(yè)面
【正文】 ＝－，所以＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－.因?yàn)閚∈N*，所以0＜≤，所以≤1－＜1，所以≤＋＋…＋＜1.11．(理)(2020卷)定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M173。數(shù)列”．(1)已知等比數(shù)列{an}(n∈N*)滿足：a2a4＝a5，a3－4a2＋4a1＝0，求證：數(shù)列{an}為“M數(shù)列”；(2)已知數(shù)列{bn}(n∈N*)滿足：b1＝1，＝－，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；②設(shè)m為正整數(shù)，若存在“M數(shù)列”{}(n∈N*)，對(duì)任意正整數(shù)k，當(dāng)k≤m時(shí)，都有ck≤bk≤ck＋1成立，求m的最大值．解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，所以a1≠0，q≠0.由得解得因此數(shù)列{an}為“M數(shù)列”．(2)①因?yàn)椋剑?，所以bn≠0.由b1＝1，S1＝b1，得＝－，則b2＝2.由＝－，得Sn＝，當(dāng)n≥2時(shí)，由bn＝Sn－Sn－1，得bn＝－，整理得bn＋1＋bn－1＝2bn.所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列．因此，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝n(n∈N*)．②由①知，bk＝k，k∈N*.因?yàn)閿?shù)列{}為“M數(shù)列”，設(shè)公比為q，所以c1＝1，q＞0.因?yàn)閏k≤bk≤ck＋1，所以qk－1≤k≤qk，其中k＝1,2,3，…，m.當(dāng)k＝1時(shí)，有q≥1；當(dāng)k＝2,3，…，m時(shí)，有≤ln q≤.設(shè)f(x)＝(x＞1)，則f′(x)＝.令f′(x)＝0，得x＝：x(1，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)極大值因?yàn)椋剑迹?，所以f(k)max＝f(3)＝.取q＝，當(dāng)k＝1,2,3,4,5時(shí)，≤ln q，即k≤qk，經(jīng)檢驗(yàn)知qk－1≤k也成立．因此所求m的最大值不小于5.若m≥6，分別取k＝3,6，得3≤q3，且q5≤6，從而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在．因此所求m的最大值小于6.綜上，所求m的最大值為5.
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