【導(dǎo)讀】1．了解數(shù)列有關(guān)概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法.高檔難度的題目.基礎(chǔ)和能力的雙重檢驗(yàn)，而三者的求證題所顯現(xiàn)出的代數(shù)推理是近年來(lái)高考命題的新熱點(diǎn)；3．熟練掌握、靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)。等差、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)應(yīng)。4．對(duì)客觀題，應(yīng)注意尋求簡(jiǎn)捷方法解答歷年有關(guān)數(shù)列的客觀題，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，除了常規(guī)方法外，①借助特殊數(shù)列；平時(shí)要加強(qiáng)對(duì)能力的培養(yǎng)。程、不等式、函數(shù)思想方法的應(yīng)用等，綜合性比較強(qiáng)，但難度略有下降.3．掌握一些遞推問(wèn)題的解法和幾類典型數(shù)列前n項(xiàng)和的求和方法；5．注意數(shù)列知識(shí)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，特別是在利率,分期付款等問(wèn)題中的應(yīng)用；6．?dāng)?shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是高考考查的重點(diǎn)。我們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí)應(yīng)給予重視。近幾年的高考數(shù)列試題不僅考查數(shù)列的概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列的基。例6．已知數(shù)列}{na、}{nb都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為1a、1b，且511??，其中7531,,,aaaa成公比為q的等比數(shù)列，642,,aaa成公差為1的

　　

【正文】 （ 5） )4()3( ? 得： 711??d ； )3()5( ? 得： 917??d ,1d Z d? ? ? ? 代入（ 2）、（ 3）得： 111014 168a a??? ?? 110 12a? ? ? 11, 11a Z a? ? ? 或 12 12 13nna n a n? ? ? ? ?或 【練習(xí) 4】已知函數(shù)xxxf 3 32)( ??，數(shù)列 {}na 滿足 11?a ， )1(1 nn afa ??， Rn? ． （ 1） 求數(shù)列 {}na 的前 n 項(xiàng)和公式； （ 2） 令 12221254433221 ?? ??????? nnnnn aaaaaaaaaaaaT ?； （ 3） 令nnn aab 11??)2( ?n ， 31?b ， nn bbbS ???? ?21 ，若 22020?? mSn 對(duì)一切 *Nn? 都成立，求 m 的最小值 ． 【解】 （ 1） 因?yàn)?xxxf 3 32)( ?? ， )1(1 nn afa ??， 所以 323323321 ??????? nnnnn aaaaa ， 則 321 ??? nn aa，所以 3132)1(321 ????? nnan； （ 2） )( 12122122212 ???? ??? nnnnnnn aaaaaaa （ 并項(xiàng)求和） )1343134)(3134( ????? nnn )3134(34 ???? n 12221254433221 ?? ??????? nnnnn aaaaaaaaaaaaT ? ]3)21(34[34 nn ?????? ? 942 )1(916 nnn ????? 9 )32(4 ??? ； （ 3）)12)(12( 911 ???? ? nnaab nnn )12 112 1(29 ???? nn )2( ?n（裂項(xiàng)相消） nn bbbS ???? ?21 )12 112 171515131(293 ?????????? nn? )12 131(293 ???? n 江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 17 頁(yè) 共 20 頁(yè) 因?yàn)?2020?? mSn對(duì) 一切 *Nn? 都成立， 所以m ax)(22020 nSm ??，則 2019?m 【練習(xí) 5】 已知函數(shù) )(24 1)( Rxxf x ???. （ 1）證明21)1()( ??? xfxf； （ 2）若數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式為 ),2,1,)(( * mnNmmnfa n ????，求數(shù)列 ??na 的前 m 項(xiàng)和 mS ； （ 3）設(shè)數(shù)列 ??nb 滿足：nnn bbbb ??? ? 211 ,31，設(shè)111111 21 ??????? nn bbbT ?，若（ 2）中的 mS 滿足對(duì)任意不小于 2的正整數(shù) m ， nm TS ? 恒成立，試求 m 的最大值 . 【解】 （ 1）∵24 1)( ?? xxf， ∴)24(2 4424 424 1)1( 1 ???????? ? xxxxxxf， ∴21)24(2 42)24(2 424 1)1()( ?????????? xxxxxxfxf. （ 2）由（Ⅰ）可知 21)1()( ??? xfxf ， ∴ )11(21)1()( ?????? mkmkfmkf ， 即 21)()( ??? m kmfmkf .（ 中心對(duì)稱的函數(shù)） ∴ 21???kmk aa， 61)1()( ??? fmmfam， 又 mmm aaaaS ????? ? 121 ? ① mmmm aaaaS ????? ?? 121 ? ② ① +②得 612221)1(2 ?????? mamSmm，（ 倒序相加法求數(shù)列的和） ∴ )13(121 ?? mSm. （ 3）∵ )1(,31 211 ????? ? nnnnn bbbbbb ③ ∴對(duì)任意 0,* ?? nbNn ④ 由③、④得111)1( 11 1 ?????? nnnnn bbbbb，∴11111???? nnn bbb（變形裂項(xiàng)） ∴111132211311)11()11()11(??? ??????????? nnnnn bbbbbbbbbT ? 江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 18 頁(yè) 共 20 頁(yè) ∵ 021 ???? nnn bbb ，∴ nn bb ??1 .（作差 比較 判斷單調(diào)性） ∴數(shù)列 ??nb 是單調(diào)遞增數(shù)列 . ∴ nT 關(guān)于 n 遞增， ∴ 當(dāng) 2* ,2 TTNnn n ??? 時(shí)且 . ∵8152)194(94,94)131(31,31 321 ??????? bbb， ∴527513 32 ???? bTT n. 由題意5275?mS，即5275)13(121 ??m， ∴394639238 ??m ∴ m 的最大值為 6. 【練習(xí) 6】 已知曲線 C：xy 1?， nC ：nxy ??? 21 （ ??Nn ）。從 C 上的點(diǎn) ),( nnn yxQ 作 x 軸的垂線，交 nC 于點(diǎn) nP ，再?gòu)狞c(diǎn) nP 作 y 軸的垂線，交 C 于點(diǎn) ),( 111 ??? nnn yxQ ，設(shè) 11?x ，nnn xxa ?? ?1 1??? nnn yyb ． （ I）求 21, 的坐標(biāo)； （ II）求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式； （ III）記數(shù)列 ? ?nn ba ? 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，求證： 31?nS． 【 解 】 （ 1）由題意得知 )1,1(1Q ， )32,1(1P， )32,23(2Q （ 2） ),( nnn yxQ? ， ),( 111 ??? nnn yxQ ，點(diǎn) nP 的坐標(biāo)為 ),( 1?nn yx 1, ?nn ? 在曲線 C 上，nn xy1?? ，111?? ? nn xy 又 nP 在曲線 nC 上 ，nnn xy ?? ?? 211（點(diǎn)數(shù)列的常用作法） nnn xx ?? ??? 21 nna ??? 2 （ 3） ????? ??? )()( 211 nnnnn xxxxx ?? + 112 )( xxx ?? 1222 1)2()1( ????? ????? ??nn nn?????? 122211)21(1 )11(2)()(111 ???? ????????nnnnnnnnn xxyyxxba )22 122 1(2 1 nnn ??? ???? )122()22( 1 ?????? nn ? nn 2222 ??? ， 3122 ??? n 江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 19 頁(yè) 共 20 頁(yè) nnn ba 23 1????（放縮成等比 數(shù)列） nnnn bababaS 23 123 123 1 22211 ??????????? ???? 31)211(31211)21(161 ??????? nn 【練習(xí) 7】 在 m 個(gè)不同數(shù)的排列 nPPP ?21 中，若 mji ???1 時(shí)， ji PP? （即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），稱 iP 與 jP 構(gòu)成一個(gè)逆序，一個(gè)排列的全部逆序數(shù)的總數(shù)稱為該排列的逆序 數(shù)，記排列 321)1()1( ??? nnn 的逆序數(shù)為 na ，若排列 21 的逆序數(shù)為 11?a ，排列 321 的逆序數(shù)為 32?a ， 排列 4321 的逆序數(shù)為 63?a ． （ 1）求 54,aa ，并寫出 na 的表達(dá)式； （ 2）設(shè)數(shù)列 }{na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ， 求 證：2311 ????ni in ST （ 3）令nnnnn aaaab 11?? ??，證明 ： 322 21 ?????? nbbbn n? ． 【 解 】 （ I）由已知得 15,10 54 ?? aa ， .2 )1(12)1( ???????? nnnna n ? （ II） ?nS )21(21)21(21 222 nn ??????? ?? 4 )1(12 )12)(1( ????? nnnnn 6 )2)(1(12 )42)(1( ?????? nnnnnn 所以 ])2)(1( 1)1( 1[3)2)(1( 61 ???????? nnnnnnnS n ??? ni in ST 1 1 ?????? ?121616121(3 ))2)(1( 1)1( 1 ???? nnnn 23))2)(1( 121(3 ????? nn （ 3） 因?yàn)?,2,1,22222211 ???????????? ?? nnnn nnnn naaa ab nnn nn 所 以 .221 nbbb n ???? ? 又因?yàn)??,2,1,222222 ????????? nnnnnn nbn（利用裂項(xiàng)相消） 所以 )]211()4121()3111[(2221 ???????????? nnnbbb n ?? 32221232 ???????? nnnn 綜上， ,2,1,322 21 ?? ??????? nnbbbn n 江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 20 頁(yè) 共 20 頁(yè) 【練習(xí) 8】 已知函數(shù) )1,)((axRxxf ??滿足 ( ) 2 ( )ax f x bx f x? ? ?， 0?a ， 1)1( ?f ；且使xxf 2)( ? 成立的實(shí)數(shù) x 只有一個(gè) ． （ Ⅰ ）求函數(shù) )(xf 的表達(dá)式； （ Ⅱ ）若數(shù)列 ??na 滿足321?a， )(1 nn afa ?? ，nnn aab ??1 ， *Nn? ，證明數(shù)列 ??nb 是等比數(shù)列，并求出 ??nb 的通項(xiàng)公式； （ Ⅲ ）在（ Ⅱ ）的條件下，如果 )(,)1(1 ????? Nnbc nnn, nn cccS ???? ??21 ,證明：23?nS，*Nn? ． 【解】 （ Ⅰ ）由 ( ) 2 ( )ax f x bx f x? ? ?，ax 1?， 0?a ，得12)( ?? axbxxf 由 1)1( ?f ，得 12 ?? ba ， 由 xxf 2)( ? 只有一解，即 xaxbx 212 ??， 也就是 )0(0)1(22 2 ???? axbax 只有一解， ∴ 0024)1(4 2 ????? ab ∴ 1??b ∴ 1??a .故12)( ?? x xxf （ Ⅱ ） ∵ 321?a，12)(1 ???? n nnn a aafa ∴ )11(211 1 ??? nn aa 即 )11(2111 1 ???? nn aa， ∴nn bb 2111 ??即 )(21 ?? ?? Nnbb nn 則數(shù)列 ??nb 是首項(xiàng) 21?b ，公比為 2 的等比數(shù)列 ，則 )(,2 ??? Nnb nn （ Ⅲ ）當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí) , 1111111 22 2212222 2212 112 1 ??????? ??????? ??????? nnnnnnnnnnnnnn cc 即11 2 121 ?? ??? nnnn cc （放縮成等比數(shù)列） ∴ ???? ???????????5432321 212121211nn ccccS 即23211211 2 ????nS 當(dāng) n 為 奇 數(shù)時(shí) , 同理可得