20xx屆高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)(空間位置關(guān)系與證明)-資料下載頁
2025-08-15 11:24本頁面
【導(dǎo)讀】一．線與線的位置關(guān)系:平行、相交、異面；線線平行線面平行面面平行,線線線面面面；如圖，在四棱錐PABCD?（Ⅲ）求二面角APDC??E∵是PC的中點，AEPC?∵底面ABCDPD，在底面ABCD內(nèi)的射影是AD，ABAD?AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM，則EMPD?，垂足為F，故CF?因此平行四邊形EFOM為菱形，從而EO⊥FM而FM∩CD=M，∴CD⊥平面EOM，從而CD⊥EO.而FMCDM??面平行和線面垂直判定定理的使用，考查空間想象能力和推理論證能力。邊長為2的正方形，四邊形1111ABCD是邊長為1的正方形，1DD?（Ⅱ）求證：平面11AACC?證明：以D為原點，以1DADCDD，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz?ABCABCD，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．。AC∴與11AC平行，DB與11DB平行，，，m為平面11BBCC的法向量，設(shè)EF，分別為DADC，的中點，連結(jié)11EFAECF，，，
【正文】 2?的大小為二面角時中在中在DECDAExxxxxxCEC B ERtCHDHCRt??????????????????? 法 2：以 D為坐標(biāo)原點，直線 DA、 DC、 DD1分別為 x、 y、 z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè) AE=x，則 A1(1， 0， 1)， D1(0， 0， 1)， E(1， x， 0)， A(1， 0， 0), C(0， 2， 0). （ 1） .,0)1,1(),1,0,1(, 1111 EDDAxEDDA ???? 所以因為 （ 2）因為 E 為 AB 的中點，則 E（ 1， 1， 0）， 從而 )0,2,1(),1,1,1(1 ???? ACED ， )1,0,1(1 ??AD ， 設(shè)平面 ACD1的法向量為 ),( cban? ， 則?????????,0,01ADnACn 也即??? ??? ??? 002ca ba，得??? ??ca ba 2， 從而 )2,1,2(?n ，所以點 E 到平面 AD1C 的距離為 .313 212|| || 1 ?????? n nEDh （ 3）設(shè)平面 D1EC 的法向量 ),( cban? ， ∴ ),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1( 11 ????? DDCDxCE 由??? ??? ????????????.0)2(02,0,01xbacbCEnCDn 令 b=1, ∴c=2, a=2－ x， ∴ ).2,1,2( xn ?? 依題意 .2 25)2( 22 2|||| ||4c o s 211 ???????? xDDn DDn? ∴ 321 ??x （不合，舍去）， 322 ??x . ∴AE= 32? 時，二面角 D1— EC— D 的大小為4?. 變式： 如圖，四棱錐 P— ABCD 中，底面 ABCD 為矩形， AB=8， AD=4 3 ，側(cè)面 PAD 為等邊三角形，并且與底面所成二面角為 60176。. （ Ⅰ ）求四棱錐 P— ABCD 的體積； （ Ⅱ ）證明 PA⊥BD. 解 析 ：（ Ⅰ ）如圖，取 AD 的中點 E， 連結(jié) PE，則 PE⊥AD. 作 PO⊥ 平面在 ABCD，垂足為 O，連結(jié) OE. 根據(jù)三垂線定理的逆定理得 OE⊥AD ， 所以 ∠PEO 為側(cè)面 PAD 與底面所成的二面角 的平面角，由已知條件可知 ∠PEO=60176。 ， PE=6，所以 PO=3 3 ， 8 四棱錐 P— ABCD 的體積 VP— ABCD= .963334831 ???? （ Ⅱ ） 法 1 如圖，以 O 為原點建立空間直角坐標(biāo)系 .通過計算可得 P(0， 0， 3 3 )， A(2 3 ，－ 3， 0)， B(2 3 ， 5， 0)， D(－ 2 3 ，－ 3， 0) 所以 ).0,8,34(),33,3,32( ?????? BDPA 因為 ,002424 ?????? BDPA 所以 PA⊥BD. 法 2：連結(jié) AO，延長 AO 交 BD 于點 可得 EO=3， AE=2 3 ，又知 AD=4 3 ， AB=8， 得 .ABADAEEO?所以 Rt△AEO∽Rt△BAD. 得 ∠EAO=∠ABD. 所以 ∠EAO+∠ADF=90176。 所以 AF⊥BD. 因為 直線 AF 為直線 PA 在平面 ABCD 內(nèi)的身影，所以 PA⊥BD. 【點晴】 本小題主要考查棱錐的體積、二面角、異面直線所成的角等知識和空間想象能力、分析問題能力，解題的關(guān)鍵是二面角的使用。使用空間向量能降低對空間想象能力的要求，但坐標(biāo)系的位置不規(guī)則，注意點坐標(biāo)的表示。
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