【正文】 mji ???1 時(shí)， ji PP? （即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），稱 iP 與 jP 構(gòu)成一個(gè)逆序，一個(gè)排列的全部逆序數(shù)的總數(shù)稱為該排列的逆序 數(shù)，記排列 321)1()1( ??? nnn 的逆序數(shù)為 na ，若排列 21 的逆序數(shù)為 11?a ，排列 321 的逆序數(shù)為 32?a ， 排列 4321 的逆序數(shù)為 63?a ． （ 1）求 54,aa ，并寫(xiě)出 na 的表達(dá)式； （ 2）設(shè)數(shù)列 }{na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ， 求 證：2311 ????ni in ST （ 3）令nnnnn aaaab 11?? ??，證明 ： 322 21 ?????? nbbbn n? ． 【 解 】 （ I）由已知得 15,10 54 ?? aa ， .2 )1(12)1( ???????? nnnna n ? （ II） ?nS )21(21)21(21 222 nn ??????? ?? 4 )1(12 )12)(1( ????? nnnnn 6 )2)(1(12 )42)(1( ?????? nnnnnn 所以 ])2)(1( 1)1( 1[3)2)(1( 61 ???????? nnnnnnnS n ??? ni in ST 1 1 ?????? ?121616121(3 ))2)(1( 1)1( 1 ???? nnnn 23))2)(1( 121(3 ????? nn （ 3） 因?yàn)?,2,1,22222211 ???????????? ?? nnnn nnnn naaa ab nnn nn 所 以 .221 nbbb n ???? ? 又因?yàn)??,2,1,222222 ????????? nnnnnn nbn（利用裂項(xiàng)相消） 所以 )]211()4121()3111[(2221 ???????????? nnnbbb n ?? 32221232 ???????? nnnn 綜上， ,2,1,322 21 ?? ??????? nnbbbn n 江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 20 頁(yè) 共 20 頁(yè) 【練習(xí) 8】 已知函數(shù) )1,)((axRxxf ??滿足 ( ) 2 ( )ax f x bx f x? ? ?， 0?a ， 1)1( ?f ；且使xxf 2)( ? 成立的實(shí)數(shù) x 只有一個(gè) ． （ Ⅰ ）求函數(shù) )(xf 的表達(dá)式； （ Ⅱ ）若數(shù)列 ??na 滿足321?a， )(1 nn afa ?? ，nnn aab ??1 ， *Nn? ，證明數(shù)列 ??nb 是等比數(shù)列，并求出 ??nb 的通項(xiàng)公式； （ Ⅲ ）在（ Ⅱ ）的條件下，如果 )(,)1(1 ????? Nnbc nnn, nn cccS ???? ??21 ,證明：23?nS，*Nn? ． 【解】 （ Ⅰ ）由 ( ) 2 ( )ax f x bx f x? ? ?，ax 1?， 0?a ，得12)( ?? axbxxf 由 1)1( ?f ，得 12 ?? ba ， 由 xxf 2)( ? 只有一解，即 xaxbx 212 ??， 也就是 )0(0)1(22 2 ???? axbax 只有一解， ∴ 0024)1(4 2 ????? ab ∴ 1??b ∴ 1??a .故12)( ?? x xxf （ Ⅱ ） ∵ 321?a，12)(1 ???? n nnn a aafa ∴ )11(211 1 ??? nn aa 即 )11(2111 1 ???? nn aa， ∴nn bb 2111 ??即 )(21 ?? ?? Nnbb nn 則數(shù)列 ??nb 是首項(xiàng) 21?b ，公比為 2 的等比數(shù)列 ，則 )(,2 ??? Nnb nn （ Ⅲ ）當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí) , 1111111 22 2212222 2212 112 1 ??????? ??????? ??????? nnnnnnnnnnnnnn cc 即11 2 121 ?? ??? nnnn cc （放縮成等比數(shù)列） ∴ ???? ???????????5432321 212121211nn ccccS 即23211211 2 ????nS 當(dāng) n 為 奇 數(shù)時(shí) , 同理可得 。 ∴當(dāng)對(duì)于給定的 {}na ，都能找到唯一的一個(gè) {}nb ，使得 1P ， 2P ， 3P ，?， nP ，?，都在 指數(shù)函數(shù) xy )41(?的圖象上 . 【練習(xí) 1】 已知數(shù)列 }{na 是等比數(shù)列，其中 13?a ，且 4a ， 15?a ， 6a 成等差數(shù)列，數(shù)列 }{nnba 的前 n 項(xiàng)和 12)1( 2 ??? ?nn nS ． （ Ⅰ）求數(shù)列 }{na 、 {}nb 的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)數(shù)列 }{nb 的前 n 項(xiàng)和為 nT ，若 tTT nn ??3 對(duì)一切正整數(shù) n 都成立，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍． 【解】 (Ⅰ )設(shè) }{na 的公比為 q ,因?yàn)?13?a ，所以 36254 , qaqaqa ??? , ∵ 4a ， 15?a ， 6a 成等差數(shù)列 , ∴ 32 )1(2 qqq ??? ,解得 2?q , ∴ 333 2 ?? ?? nnn qaa . 當(dāng) 1?n 時(shí) , 1111 ??Sba, ∴4111 ??ab. 當(dāng) 2?n 時(shí) , 31 2 ?? ???? nnnnn nSSba, ∴ nn ab nnn 12 3 ??? ?. 綜上 , ??????????.2,1,1,41nnnbn （ 注意首項(xiàng)的驗(yàn)證 ） (Ⅱ )記 )12141(3 111121413 nnnnTTA nnn ??????????????????????? .312111 nnn ????????? 則 nn AA ??1 )3 111(33 123 113 13 13121 nnnnnnnn ?????????????????????? 1133 123 113 1 ???????? nnnn .033 223 113 1 ??????? nnn （利用比較法證證明單調(diào)性） ∴ nn AA ??1 . ∴ }{nA 中的最小項(xiàng)是 6541312141131 ??????? TTA. ∵ tTT nn ??3 對(duì)一切正整數(shù) n 都成立 , ∴ 65?t . 【練習(xí) 2】 已知點(diǎn) ))(,( *NnbaP nnn ? 都在直線 l ： 22 ?? xy 上， 1P 為直線 l 與 x 軸的交點(diǎn)，數(shù)列}{na 成等差數(shù)列，公差為 1． 1,3,5 江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 15 頁(yè) 共 20 頁(yè) （Ⅰ）求數(shù)列 }{na ， }{nb 的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若???? 為偶數(shù)， 為奇數(shù)， nb nanfnn)( 問(wèn)是否存在 *Nk? ，使得 5)(2)5( ??? kfkf 成立？若存 在，求出 k 的值，若不存在，說(shuō)明理由。 【解】nnnn aaAA 21 ?? ? ，得 1 3 2 1, , , ,na a a ? 和 2 4 2, , , ,na a a 均是等比數(shù)列，且公比相同 例 8．計(jì)算機(jī)中常用十六進(jìn)制是逢 16 進(jìn) 1 的計(jì)數(shù)制，采用數(shù)字 0～ 9 和字母 A ～ F 共 16 個(gè)計(jì)數(shù) 符號(hào)，這些符號(hào)與十進(jìn)制的數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表： 十六進(jìn)制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 6 頁(yè) 共 20 頁(yè) 十進(jìn)制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六進(jìn)制表示： BDE 1?? ，則 ??BA （ ） A． 6E B． 72 C． 5F D． B0 【解】 EBA 614616110 ?????? ． 【練習(xí) 1】 植樹(shù)節(jié)某班 20 名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹(shù)，每人植一棵，相鄰兩棵樹(shù)相距 10 米，開(kāi)始時(shí)需將樹(shù)苗集中 放置在某一樹(shù)坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹(shù)坑出發(fā)前來(lái)領(lǐng)取樹(shù)苗往返所走的路程總和最小，這個(gè)最小值為 （米）。 例 8．?dāng)?shù)列 nS 是滿足??????????????121,12210,21nnnnnaaaaa ，若 761?a ，則 2020a 的值為 ． 【解】 752?a， 733?a， 764?a，所以數(shù)列的周期為 3， 7622020 ?? aa． 【練習(xí) 1】 設(shè)數(shù)列 }2{ 1?n 按“第 n 組有 n 個(gè)數(shù) )( *Nn? ”的規(guī)則分組如下：（ 1），（ 2， 4），（ 8， 16，32），?，則第 100 組中的第一個(gè)數(shù)（ ） A． 49512 B． 49502 C． 50512 D． 50502 【解】前 99 共有 495099321 ????? ? ， 第 100 組中的第一個(gè)數(shù) 49502 ． 【練習(xí) 2】 等比數(shù)列 ??na 中， 1a =512，公比nq ??? 用,21表示它的前 n 項(xiàng)之積 nn aaa ?21 ??? ， ?21,?? 中最大的是 ． 【 解】 nnna ??? 102)1( ， 9? 最大 ． 【練習(xí) 3】 已知等比數(shù)列 ??na 中， ,01 ??? nn aa 且 ,252 645342 ??? aaaaaa 則 1a 的取值范圍是 ． 【解】 252 645342 ??? aaaaaa 得： 5)1( 221 ??qqa ， 則25)1( 5221 ??? qqa （ 1?q ） 2,4,6 江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 4 頁(yè) 共 20 頁(yè) 【練習(xí) 4 】 若數(shù)列 ? ?()nna a R? 對(duì)任意的正整數(shù) ,mn滿足 ,m n m na a a? ? 且 3 22a ? ,那么?12a ． 【解】令 1?m ，則 qaaaa nn ???? 111 ， 2222 3213 ???? qqaa ， 641212 ?? aa 【練習(xí) 5】由 ?? ,12,5,3,1 ?n 構(gòu)成數(shù)列 }{na ，數(shù)列 ??nb 滿足 2,21 ?? nb 當(dāng) 時(shí)數(shù)列 }{na 中第 1?nb 項(xiàng)等于數(shù)列 ??nb 的第 n 項(xiàng)，即1?? nbn ab，則 ?nb . 【解】因?yàn)??? nbn ab， 所以 12)1(21 11 ????? ?? nnn bbb ，則 )1(21 1?? ?nn bb 121 ??? nnb ，則 12 1 ?? ?nnb ． 【練習(xí) 6】一個(gè)數(shù)字生成器，生成規(guī)則如下：第一次生成一個(gè)數(shù) x ，以后每次生成的結(jié)果可將上一次生成數(shù) x 生成兩個(gè)數(shù)，一個(gè)為 x? ，另一個(gè)為 3?x ，設(shè)第 n 次生成的數(shù)的個(gè)數(shù)為 na ，則數(shù)列}{na 的前 n 項(xiàng)和 nS 等于 ，若 1?x ，前 n 次生成所有數(shù)中的個(gè)數(shù)為 nT ，則 ?nT ． 【解】 12?? nna ， 12 ?? nnS ； 11?T ， 32?T ，不妨設(shè)第 n 次生成的數(shù)的最大值為 nA ，最小值為 nB ，當(dāng) 3?n 時(shí)， 31 ??? nn AA ， 3???? nnn BAB ，于是每進(jìn)行一次生成，所有數(shù)的取值區(qū)間 增大 6，又由生成數(shù)中不存在整除 3 的數(shù)，所有不同的數(shù)的個(gè)數(shù)為 4，觀察知當(dāng) 3?n 時(shí)， nT 為公差為 4 的等差數(shù)列，所有 64 ?? nTn ．【歸納猜想】 （二） 等差與等比數(shù)列 綜合 例 1． 數(shù)列 }{na 滿足 11?a ， 1, ?nn aa 是方程 022 ??? nbnxx 的兩個(gè)根，則數(shù)列 ??nb 的前 n2項(xiàng)和為 ?nS2 ， }{na 的前 n 項(xiàng)和 ?nT ． 【解】 naa nn 21 ?? ?