【正文】 江西省于都中學 2020 屆高三第二輪 復習資料 (數列 ) 第 1 頁 共 20 頁 數列 （ 5課時） 一 【 本章知識結構 】 二 【 高考要求 】 1．了解數列有關概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項公式） . 2．理解等差（比）數列的概念，掌握等差（比）數列的通項公式與前 n 項和的公式 . 并能運用這些知識來解決一些實際問題 ． 三 【 熱點分析 】 1． 數列在歷年高考中都占有較重要的地位，一般情況下都是一個客觀性試題加一個解答題，分值占整個試卷的 10%左右 .客觀性試題主要考查等差、等比數列的概念、性質、通項公式、前 n 項和公式 等內容，對基本的計算技能要求比較高，解答題大多以考查數列內容為主，并涉及到函數、方程、不等式知識的綜合性試題，在解題過程中通常用到等價轉化，分類討論等數學思想方法，是屬于中高檔難度的題目 . 2． 有關數列題的命題趨勢 ： （ 1）數列是特殊的函數，而不等式則是深刻認識函數和數列的重要工具，三者的綜合求解題是對基礎和能力的雙重檢驗，而三者的求證題所顯現出的代數推理是近年來高考命題的新熱點 ； （ 2）數列推理題是新出現的命題熱點 .以往高考常使用主體幾何題來考查邏輯推理 能力，近兩年在數列題中也加強 等差與等比數列綜合 的考查 ； 3． 熟練掌握、靈活運用等差、等比數列的性質 。 等差、等比數列的有關性質在解決數列問題時應用非常廣泛，且十分靈活，主動發(fā)現題目中隱含的相關性質，往往使運算簡潔優(yōu)美 4． 對客觀題，應注意尋求簡捷方法 解答歷年有關數列的客觀題，就會發(fā)現，除了常規(guī)方法外，還可以用更簡捷的方法求解 .現介紹如下： ① 借助特殊數列 ； ② 靈活運用等差數列、等比數列的有關性質，可更加準確、快速地解題，這種思路在解客觀題時表現得更為突出，很多數列客觀題都有靈活、簡捷的解法 5． 在數列的學習中加強能力訓練 數列問題對能力要求較高，特別是運算能力、歸納猜想能力、轉化能力、邏輯推理能力更為突出 .一般來說，考題中選擇、填空題解法靈活多變，而解答題更是考查能力的集中體現，尤其近幾年高考加強了數列推理能力的考查，應引起我們足夠的重視 .因此，在等差數列的 性質 通項 及 前 n 項和 正 整 數 集 數 列 的 概 念 等 差 數 列 等 比 數 列 等比數列的 性質 有 關 應 用 江西省于都中學 2020 屆高三第二輪 復習資料 (數列 ) 第 2 頁 共 20 頁 平時要加強對能力的培養(yǎng) 。 6．這幾年的高考通過選擇題，填空題來著重對三基進行考查，涉及到的知識主要有：等差（比）數列的性質 . 通過解答題著重對觀察、歸納、抽象等解決問題的基本方法進行考查，其中涉及到方程、不等式、函數思想方法的應用等，綜合性比較強，但難度 略有下降 . 四 【 復習建議 】 1．對基礎知識要落實到位，主要是等差（比）數列的定義、通項、前 n 項和； 2．注意等差（比）數列性質的靈活運用； 3．掌握一些遞推問題的解法和幾類典型數列前 n 項和的求和方法； 4．注意滲透三種數學思想：函數與方程的思想、化歸轉化思想及分類討論思想； 5．注意數列知識在實際問題中的應用，特別是在利率 ,分期付款等問題中的應用； 6．數列是高中數學的重要內容之一，也是高考考查的重點。而且往往還以解答題的形式出現，所以我們在復習時應給予重視。近 幾年的高考數列試題不僅考查數列的概念、等差數列和等比數列的基礎知識、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了學生的各種能力。 五 【 典型例題 】 （ 一 ） 等差與等比數列定義與性質 例 1．數列 }{na 的前 n 項和 nnSn 42 ?? ，則 naaa ??? ?21 = ． 【解】 521 ???? ? nSSa nnn ， 當 3?n 時， 0?na ， naaa ??? ?21 21 4)( nnaa n ?????? ? ， 當 3?n 時， nn aaaT ???? ?21 naaaa ?????? ?321 22SSn ?? 842 ??? nn 例 2．設 ??nS 是等差數列 ??na 的前 n 項和，已知 6 36S ? ， 270?nS ， ? ?6 14 4 6nSn? ??，則 n 等于（ ） A． 17 B． 18 C． 19 D． 20 【解】 因為 270?nS ， 1446 ??nS ， 所以 12651 ???? ?? nnn aaa ? ，又因為 6 36S ，所以271 ?? naa ， 2702 )( 1 ??? nn aanS ， 解得： 20?n ． 例 3．已知兩個等差數列 {}na 和 {}nb 的前 n 項和分別為 An 和 nB ，且 7 453nnA nBn?? ?，則使得 nnab 為 整數的正整數 n 的個數是 （ ） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 【解】由 7 453nnA nBn?? ?得：1212???nnnn BAba 119722 3814 ?????? nnnn ，要使 nnab 為整數，則需 11271197 ????? nnn 為整數，所以 5,3,2,1?n 、 11，則有五 種 ． 例 4．無窮等差數列 }{na 的各項均為整數，首項為 1a ，公差為 d ， nS 是其前項和， 21,15,3 是其中的三項，給出下列命題： （ A）數列 }{na 一定是遞增數列； （ B） 對于任意滿足條件的 d ，存在 1a ，使得 75 一定是數列 }{na 中的一項； （ C） 對于任意滿足條件的 d ，存在 1a ，使得 60 一定是數列 }{na 中的一項； （ D） 存在滿足條件的數列 }{na ，使得對任意的 *Nn? ， nn SS 42 ? 成立 江西省于都中學 2020 屆高三第二輪 復習資料 (數列 ) 第 3 頁 共 20 頁 【解】設 21,15,3 分別為數列 }{na 的第 tnm, 項，則nmnm aad nm ????? 12，mtd ?? 18； ntd ?? 6，所以公差 d 可 能為 1? ； 2? ； 3? ； 6? ，所以 A 不正確； dmsa m )(75 ??? ， zdms ??? 72 成立，所以 B 正確； dmsa m )(60 ??? ， dms 57?? 不一定為整數，所以 C不正確；由 nn SS 42 ? 得 111 2)1(24)12(2 addnnnadnnna ??????? 成立，所以 D 正確 例 1a ， d 為實數，首項為 1a ，公差為 d 的等差數列 }{na 的前 n 項和為 nS ，滿足 01565 ??SS ，則 d 的取值范圍是 __________________ . 【解】 因為 01565 ??SS ， 08)105( 221 ???? dda ， 則 d 的取值范圍 ),22()22,( ?????? 【 等于不等的轉化 】 ；另解： 011092 2121 ???? ddaa （確定主元 1a ） 0?? 得 例 6．已知數列 }{na 、 }{nb 都是公差為 1 的等差數列，其首項分別為 1a 、 1b ，且 511 ??ba ， *11, Nba ? ．設 nbn ac ? （ *Nn? ），則數列 }{nc 的前 n 項和 ?nS ． 【解】 設 11?a ， 41?b ， nan? ， 3??nbn ，則 4411 ??? aac b， 3??? nbc nn 2 )34( ??? nnS n 2 )7( ?? nn 【特殊到一般的轉化】 例 7． 設 7211 aaa ???? ? ，其中 7531 , aaaa 成公比為 q 的等比數列， 642 , aaa 成公差為 1 的等差數列，則 q 的最小值是 ________ 【解】 231 2 1 2 1 2 11 1 2a a a q a a q a a q? ? ? ? ? ? ? ? ?， 22 2 2 21 , 1 2a q a a q a? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 23qa? ? ? ，而 2 1 2 2 21 , 1 , , 1 , 2a a a a a? ? ? ? ?的最小值分 別為 3 3min 3q??。 例 8．數列 nS 是滿足??????????????121,12210,21nnnnnaaaaa ，若 761?a ，則 2020a 的值為 ． 【解】 752?a， 733?a， 764?a，所以數列的周期為 3， 7622020 ?? aa． 【練習 1】 設數列 }2{ 1?n 按“第 n 組有 n 個數 )( *Nn? ”的規(guī)則分組如下：（ 1），（ 2， 4），（ 8， 16，32），?，則第 100 組中的第一個數（ ） A． 49512 B． 49502 C． 50512 D． 50502 【解】前 99 共有 495099321 ????? ? ， 第 100 組中的第一個數 49502 ． 【練習 2】 等比數列 ??na 中， 1a =512，公比nq ??? 用,21表示它的前 n 項之積 nn aaa ?21 ??? ， ?21,?? 中最大的是 ． 【 解】 nnna ??? 102)1( ， 9? 最大 ． 【練習 3】 已知等比數列 ??na 中， ,01 ??? nn aa 且 ,252 645342 ??? aaaaaa 則 1a 的取值范圍是 ． 【解】 252 645342 ??? aaaaaa 得： 5)1( 221 ??qqa ， 則25)1( 5221 ??? qqa （ 1?q ） 2,4,6 江西省于都中學 2020 屆高三第二輪 復習資料 (數列 ) 第 4 頁 共 20 頁 【練習 4 】 若數列 ? ?()nna a R? 對任意的正整數 ,mn滿足 ,m n m na a a? ? 且 3 22a ? ,那么?12a ． 【解】令 1?m ，則 qaaaa nn ???? 111 ， 2222 3213 ???? qqaa ， 641212 ?? aa 【練習 5】由 ?? ,12,5,3,1 ?n 構成數列 }{na ，數列 ??nb 滿足 2,21 ?? nb 當 時數列 }{na 中第 1?nb 項等于數列 ??nb 的第 n 項，即1?? nbn ab，則 ?nb . 【解】因為1?? nbn ab， 所以 12)1(21 11 ????? ?? nnn bbb ，則 )1(21 1?? ?nn bb 121 ??? nnb ，則 12 1 ?? ?nnb ． 【練習 6】一個數字生成器，生成規(guī)則如下：第一次生成一個數 x ，以后每次生成的結果可將上一次生成數 x 生成兩個數，一個為 x? ，另一個為 3?x ，設第 n 次生成的數的個數為 na ，則數列}{na 的前 n 項和 nS 等于 ，若 1?x ，前 n 次生成所有數中的個數為 nT ，則 ?nT ． 【解】 12?? nna ， 12 ?? nnS ； 11?T ， 32?T ，不妨設第 n 次生成的數的最大值為 nA ，最小值為 nB ，當 3?n 時， 31 ??? nn AA ， 3???? nnn BAB ，于是每進行一次生成，所有數的取值區(qū)間 增大 6，又由生成數中不存在整除 3 的數，所有不同的數的個數為 4，觀察知當 3?n 時， nT 為公差為 4 的等差數列，所有 64 ?? nTn ．【歸納猜想】 （二） 等差與等比數列 綜合 例 1． 數列 }{na 滿足 11?a ， 1, ?nn aa 是方程 022 ??? nbnxx 的兩個根，則數列 ??nb 的前 n2項和為 ?nS2 ， }{na 的前 n 項和 ?nT ． 【解】 naa nn 21 ?? ? ， nnn baa ??1 ， 2221 ??? ?? naa nn ，得 22 ??? nn aa ， 12?a 12)1(222 ?