【正文】 ?nn nS ． （ Ⅰ）求數(shù)列 }{na 、 {}nb 的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)數(shù)列 }{nb 的前 n 項(xiàng)和為 nT ，若 tTT nn ??3 對(duì)一切正整數(shù) n 都成立，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍． 【解】 (Ⅰ )設(shè) }{na 的公比為 q ,因?yàn)?13?a ，所以 36254 , qaqaqa ??? , ∵ 4a ， 15?a ， 6a 成等差數(shù)列 , ∴ 32 )1(2 qqq ??? ,解得 2?q , ∴ 333 2 ?? ?? nnn qaa . 當(dāng) 1?n 時(shí) , 1111 ??Sba, ∴4111 ??ab. 當(dāng) 2?n 時(shí) , 31 2 ?? ???? nnnnn nSSba, ∴ nn ab nnn 12 3 ??? ?. 綜上 , ??????????.2,1,1,41nnnbn （ 注意首項(xiàng)的驗(yàn)證 ） (Ⅱ )記 )12141(3 111121413 nnnnTTA nnn ??????????????????????? .312111 nnn ????????? 則 nn AA ??1 )3 111(33 123 113 13 13121 nnnnnnnn ?????????????????????? 1133 123 113 1 ???????? nnnn .033 223 113 1 ??????? nnn （利用比較法證證明單調(diào)性） ∴ nn AA ??1 . ∴ }{nA 中的最小項(xiàng)是 6541312141131 ??????? TTA. ∵ tTT nn ??3 對(duì)一切正整數(shù) n 都成立 , ∴ 65?t . 【練習(xí) 2】 已知點(diǎn) ))(,( *NnbaP nnn ? 都在直線 l ： 22 ?? xy 上， 1P 為直線 l 與 x 軸的交點(diǎn)，數(shù)列}{na 成等差數(shù)列，公差為 1． 1,3,5 江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 15 頁(yè) 共 20 頁(yè) （Ⅰ）求數(shù)列 }{na ， }{nb 的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若???? 為偶數(shù)， 為奇數(shù)， nb nanfnn)( 問(wèn)是否存在 *Nk? ，使得 5)(2)5( ??? kfkf 成立？若存 在，求出 k 的值，若不存在，說(shuō)明理由。 例 8．?dāng)?shù)列 nS 是滿足??????????????121,12210,21nnnnnaaaaa ，若 761?a ，則 2020a 的值為 ． 【解】 752?a， 733?a， 764?a，所以數(shù)列的周期為 3， 7622020 ?? aa． 【練習(xí) 1】 設(shè)數(shù)列 }2{ 1?n 按“第 n 組有 n 個(gè)數(shù) )( *Nn? ”的規(guī)則分組如下：（ 1），（ 2， 4），（ 8， 16，32），?，則第 100 組中的第一個(gè)數(shù)（ ） A． 49512 B． 49502 C． 50512 D． 50502 【解】前 99 共有 495099321 ????? ? ， 第 100 組中的第一個(gè)數(shù) 49502 ． 【練習(xí) 2】 等比數(shù)列 ??na 中， 1a =512，公比nq ??? 用,21表示它的前 n 項(xiàng)之積 nn aaa ?21 ??? ， ?21,?? 中最大的是 ． 【 解】 nnna ??? 102)1( ， 9? 最大 ． 【練習(xí) 3】 已知等比數(shù)列 ??na 中， ,01 ??? nn aa 且 ,252 645342 ??? aaaaaa 則 1a 的取值范圍是 ． 【解】 252 645342 ??? aaaaaa 得： 5)1( 221 ??qqa ， 則25)1( 5221 ??? qqa （ 1?q ） 2,4,6 江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 4 頁(yè) 共 20 頁(yè) 【練習(xí) 4 】 若數(shù)列 ? ?()nna a R? 對(duì)任意的正整數(shù) ,mn滿足 ,m n m na a a? ? 且 3 22a ? ,那么?12a ． 【解】令 1?m ，則 qaaaa nn ???? 111 ， 2222 3213 ???? qqaa ， 641212 ?? aa 【練習(xí) 5】由 ?? ,12,5,3,1 ?n 構(gòu)成數(shù)列 }{na ，數(shù)列 ??nb 滿足 2,21 ?? nb 當(dāng) 時(shí)數(shù)列 }{na 中第 1?nb 項(xiàng)等于數(shù)列 ??nb 的第 n 項(xiàng)，即1?? nbn ab，則 ?nb . 【解】因?yàn)??? nbn ab， 所以 12)1(21 11 ????? ?? nnn bbb ，則 )1(21 1?? ?nn bb 121 ??? nnb ，則 12 1 ?? ?nnb ． 【練習(xí) 6】一個(gè)數(shù)字生成器，生成規(guī)則如下：第一次生成一個(gè)數(shù) x ，以后每次生成的結(jié)果可將上一次生成數(shù) x 生成兩個(gè)數(shù)，一個(gè)為 x? ，另一個(gè)為 3?x ，設(shè)第 n 次生成的數(shù)的個(gè)數(shù)為 na ，則數(shù)列}{na 的前 n 項(xiàng)和 nS 等于 ，若 1?x ，前 n 次生成所有數(shù)中的個(gè)數(shù)為 nT ，則 ?nT ． 【解】 12?? nna ， 12 ?? nnS ； 11?T ， 32?T ，不妨設(shè)第 n 次生成的數(shù)的最大值為 nA ，最小值為 nB ，當(dāng) 3?n 時(shí)， 31 ??? nn AA ， 3???? nnn BAB ，于是每進(jìn)行一次生成，所有數(shù)的取值區(qū)間 增大 6，又由生成數(shù)中不存在整除 3 的數(shù)，所有不同的數(shù)的個(gè)數(shù)為 4，觀察知當(dāng) 3?n 時(shí)， nT 為公差為 4 的等差數(shù)列，所有 64 ?? nTn ．【歸納猜想】 （二） 等差與等比數(shù)列 綜合 例 1． 數(shù)列 }{na 滿足 11?a ， 1, ?nn aa 是方程 022 ??? nbnxx 的兩個(gè)根，則數(shù)列 ??nb 的前 n2項(xiàng)和為 ?nS2 ， }{na 的前 n 項(xiàng)和 ?nT ． 【解】 naa nn 21 ?? ? ， nnn baa ??1 ， 2221 ??? ?? naa nn ，得 22 ??? nn aa ， 12?a 12)1(222 ????? kkaa k ， 12)1(2112 ?????? kkaa k ，??? ????? )12( )2(1 knn knna n 14 21222 ??? ? naab nnn ， 144 221212 ???? ?? nnaab nnn ， nnaabb nnnn 48 2212212 ???? ?? ???????? ? )()()( 21243212 nnn bbbbbbS ? )1(23 12)(1(4 ???? nnnnn 3 )14)(1(2 ??? nnn 【并項(xiàng)求和】 kkk aaaaaaT 21243212 ??????? ?? 22)]12(31[2 kk ?????? ? 22nTn ? （ n 為偶數(shù)）， )12(2 22212 ?????? kkaTT kkk ， 2 12 ?nTn （ n 為 奇 數(shù)） 例 2．已知 1)( ??bxxf 是關(guān)于 x 的一次函數(shù)， b 為不等于 1的常數(shù)，且)1( )0()]1([(1)( ????? ?? nnngfng 設(shè) )1()( ??? ngnga n )( *Nn? ，則數(shù)列 ??na 為（ ） A．等差數(shù)列 B．等比數(shù)列 C． 遞增數(shù)列 D． 遞減數(shù)列 【解】 bbggfgga ???????? 11)0()]0([()0()1(1 ，當(dāng) 2?n 時(shí)， )1()( ??? ngnga n 1)]2()1([)]2([)]1([ ?????????? nbangngbngfngf ，所以 ??na 是 等比數(shù)列 ． 江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 5 頁(yè) 共 20 頁(yè) 例 3．已知函數(shù) xxxf tansin)( ?? .項(xiàng)數(shù)為 27的等差數(shù)列 ??na 滿足 ???????? 22 ?? ，na，且公差 0?d .若 0)()()( 2721 ????? afafaf ，則當(dāng) k =___________時(shí) 0( ?kaf . 【解】 函數(shù) xxxf tansin)( ?? 在 ()22??? ，是增函數(shù)，顯然又 為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于 原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?14262271 2 aaaaa ????? ?， 0)( 14af ， 所以當(dāng) 14k? 時(shí)， 0)( ?kaf . 例 4．已知 )(xf 是定義在 R 上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的 Rba ?, ，滿足 )()( bafbaf ?? )(2 )2(),()2(,2)2(),( ?? ?????? NnfbNnnfafabf n nnnn考查下列結(jié)論： ① )1()0( ff ? ； ② )(xf 為偶函數(shù)； ③數(shù)列 ??na 為等比數(shù)列； ④ ??nb 為等差數(shù)列 . 其中正確的是 ． 【解】 0)1()0( ?? ff ；設(shè) xba ??? ,1 ，因?yàn)?)1(2))]1()1[()1( ??????? fff ， 則 0)1( ??f ，所以 )()1()()( xfxfxfxf ??????? 為奇函數(shù) ； )2(2)2( 1?? nn ff )2(2 1 fn?? )2(2 1?? nf n2? 12 )2(2 )2( 1 1 ??? ??n nn n ff，則 ??nb 為等差數(shù)列； nfnn ?2 )2( ， nnnf 2)2( ?? 則 數(shù)列 ??na 為等比數(shù)列 例 6．設(shè)函數(shù) Rxxx nxxxf ??? ??? (1)(22 ，且 ),2 1 *Nxnx ??? ， )(xf 的最小值為 na ，最大值為 nb ，記 )1)(1( nnn bac ??? ，則數(shù)列 }{nc （ ） A．是公差不為 0 的等差數(shù)列 B．是公比不為 1 的等比數(shù)列 C．是常數(shù)列 D．不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列 【解】由 0)1()1(1)( 222 ????????? ???? nyxyxyxx nxxxfy ， 因?yàn)?2)1( ??? y 0))(1(4 ???? nyy ，則 014)64(3 2 ????? nyny ，所以得： 3 64 ??? nba nn ， 3 14 ?? nba nn ， )1)(1( nnn bac ??? 343 143 641 ??????? nn ． 【函數(shù)方程思想】 例 7． 設(shè) {}na 是各項(xiàng)為正數(shù)的無(wú)窮數(shù)列， iA 是邊長(zhǎng)為 1,iiaa? 的矩形面積（ 1,2,i? ），則 {}nA 為等比數(shù)列的充要條件為（ ） A． {}na 是等比數(shù)列。 等差、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)應(yīng)用非常廣泛，且十分靈活，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)題目中隱含的相關(guān)性質(zhì)，往往使運(yùn)算簡(jiǎn)潔優(yōu)美 4． 對(duì)客觀題，應(yīng)注意尋求簡(jiǎn)捷方法 解答歷年有關(guān)數(shù)列的客觀題，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，除了常規(guī)方法外，還可以用更簡(jiǎn)捷的方法求解 .現(xiàn)介紹如下： ① 借助特殊數(shù)列 ； ② 靈活運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，可更加準(zhǔn)確、快速地解題，這種思路在解客觀題時(shí)表現(xiàn)得更為突出，很多數(shù)列客觀題都有靈活、簡(jiǎn)捷的解法 5． 在數(shù)列的學(xué)習(xí)中加強(qiáng)能力訓(xùn)練 數(shù)列問(wèn)題對(duì)能力要求較高，特別是運(yùn)算能力、歸納猜想能力、轉(zhuǎn)化能力、邏輯推理能力更為突出 .一般來(lái)說(shuō)，考題中選擇、填空題解法靈活多變，而解答題更是考查能力的集中體現(xiàn)，尤其近幾年高考加強(qiáng)了數(shù)列推理能力的考查，應(yīng)引起我們足夠的重視 .因此，在等差數(shù)列的 性質(zhì) 通項(xiàng) 及 前 n 項(xiàng)和 正 整 數(shù) 集 數(shù) 列 的 概 念 等 差 數(shù) 列 等 比 數(shù) 列 等比數(shù)列的 性質(zhì) 有 關(guān) 應(yīng) 用 江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 2 頁(yè) 共 20 頁(yè) 平時(shí)要加強(qiáng)對(duì)能力的培養(yǎng) 。 D． 1 3 2 1, , , ,na a a ? 和 2 4 2, , , ,na a a 均是等比數(shù)列，且公比相