【正文】 （Ⅲ）求證：52|| 1|| 1|| 1 21231221 ???? npppppp ? )2( ?n ． 【解】（ 1），因為點 ))(,( *NnbaP nnn ? 都在直線 l ： 22 ?? xy 上 所以 22 ?? nn ab 又因為 )0,1(1 ?P ，所以 11 ??a ， 0?nb ， 所以 2)1(1 ?????? nna n ， 2222 ???? nab nn （ 2）??? ??? 為偶數(shù)， 為奇數(shù) nn nnnf 22 ,2)( ， 5)(2)5( ??? kfkf 當(dāng) k 為偶數(shù)時， 5?k 為奇數(shù)，所以 5)22(225 ????? kk ，得 4?k 當(dāng) k 為奇數(shù)時， 5?k 為偶 數(shù)，所以 5)2(22)5(2 ????? kk 不成立， 綜上，存在唯一的 4k? 符合條件 （ 3） )0,1(1 ?P ， )22,2( ?? nnPn ， 22221 )1(5)22()1(|| ?????? nnnPP n 則 )1121(51)2)(1( 151)1(5 1|| 1 221 ?????????? nnnnnPP n )3( ?n )11213121211(5151|| 1|| 1|| 1 21231221 ????????????? nnpppppp n ?? 52)1(5 15151 ????? n 【 練習(xí) 3】 設(shè) 等差數(shù)列 {}na 的首項 a1 及公差 d 都為整數(shù)，前 n 項和為 nS ． （ 1）若 011?a ， 9814?S ,求數(shù)列 {}na 的通項公式； （ 2）在（ 1）的條件下求 nS 的表達(dá)式并求出 nS 取最大值時 n 的值 ； （ 3）若 61?a ， 011?a ， 7714?S ，求所有可能的數(shù)列 {}na 的通項公式 ． 【解】 （ 1） 由 11 140, 98aS??得 1110 014 91 98adad???? ???解得： 1 202ad??? ??? ? ?1 1 22 2na a n d n? ? ? ? ? ? （ 2） ? ?1 2212 nn a a nS n n?? ? ? ?（等差數(shù)列前 n 項的和 nS 是一個沒有常數(shù)項的二次函數(shù)） 令 0na? 得 11n? ?當(dāng) 11n? 時， nS 取得最大值 江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 16 頁 共 20 頁 （ 3）由 61?a ， 011?a ， 7714?S 得： 111610 014 91 77aadad?????????? (1)(2)(3) )14()2( ?? 得： 014014 1 ??? da （ 4） )14()1( ?? 得： 8414 1 ??? a （ 5） )4()3( ? 得： 711??d ； )3()5( ? 得： 917??d ,1d Z d? ? ? ? 代入（ 2）、（ 3）得： 111014 168a a??? ?? 110 12a? ? ? 11, 11a Z a? ? ? 或 12 12 13nna n a n? ? ? ? ?或 【練習(xí) 4】已知函數(shù)xxxf 3 32)( ??，數(shù)列 {}na 滿足 11?a ， )1(1 nn afa ??， Rn? ． （ 1） 求數(shù)列 {}na 的前 n 項和公式； （ 2） 令 12221254433221 ?? ??????? nnnnn aaaaaaaaaaaaT ?； （ 3） 令nnn aab 11??)2( ?n ， 31?b ， nn bbbS ???? ?21 ，若 22020?? mSn 對一切 *Nn? 都成立，求 m 的最小值 ． 【解】 （ 1） 因為 xxxf 3 32)( ?? ， )1(1 nn afa ??， 所以 323323321 ??????? nnnnn aaaaa ， 則 321 ??? nn aa，所以 3132)1(321 ????? nnan； （ 2） )( 12122122212 ???? ??? nnnnnnn aaaaaaa （ 并項求和） )1343134)(3134( ????? nnn )3134(34 ???? n 12221254433221 ?? ??????? nnnnn aaaaaaaaaaaaT ? ]3)21(34[34 nn ?????? ? 942 )1(916 nnn ????? 9 )32(4 ??? ； （ 3）)12)(12( 911 ???? ? nnaab nnn )12 112 1(29 ???? nn )2( ?n（裂項相消） nn bbbS ???? ?21 )12 112 171515131(293 ?????????? nn? )12 131(293 ???? n 江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 17 頁 共 20 頁 因為22020?? mSn對 一切 *Nn? 都成立， 所以m ax)(22020 nSm ??，則 2019?m 【練習(xí) 5】 已知函數(shù) )(24 1)( Rxxf x ???. （ 1）證明21)1()( ??? xfxf； （ 2）若數(shù)列 ??na 的通項公式為 ),2,1,)(( * mnNmmnfa n ????，求數(shù)列 ??na 的前 m 項和 mS ； （ 3）設(shè)數(shù)列 ??nb 滿足：nnn bbbb ??? ? 211 ,31，設(shè)111111 21 ??????? nn bbbT ?，若（ 2）中的 mS 滿足對任意不小于 2的正整數(shù) m ， nm TS ? 恒成立，試求 m 的最大值 . 【解】 （ 1）∵24 1)( ?? xxf， ∴)24(2 4424 424 1)1( 1 ???????? ? xxxxxxf， ∴21)24(2 42)24(2 424 1)1()( ?????????? xxxxxxfxf. （ 2）由（Ⅰ）可知 21)1()( ??? xfxf ， ∴ )11(21)1()( ?????? mkmkfmkf ， 即 21)()( ??? m kmfmkf .（ 中心對稱的函數(shù)） ∴ 21???kmk aa， 61)1()( ??? fmmfam， 又 mmm aaaaS ????? ? 121 ? ① mmmm aaaaS ????? ?? 121 ? ② ① +②得 612221)1(2 ?????? mamSmm，（ 倒序相加法求數(shù)列的和） ∴ )13(121 ?? mSm. （ 3）∵ )1(,31 211 ????? ? nnnnn bbbbbb ③ ∴對任意 0,* ?? nbNn ④ 由③、④得111)1( 11 1 ?????? nnnnn bbbbb，∴11111???? nnn bbb（變形裂項） ∴111132211311)11()11()11(??? ??????????? nnnnn bbbbbbbbbT ? 江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 18 頁 共 20 頁 ∵ 021 ???? nnn bbb ，∴ nn bb ??1 .（作差 比較 判斷單調(diào)性） ∴數(shù)列 ??nb 是單調(diào)遞增數(shù)列 . ∴ nT 關(guān)于 n 遞增， ∴ 當(dāng) 2* ,2 TTNnn n ??? 時且 . ∵8152)194(94,94)131(31,31 321 ??????? bbb， ∴527513 32 ???? bTT n. 由題意5275?mS，即5275)13(121 ??m， ∴394639238 ??m ∴ m 的最大值為 6. 【練習(xí) 6】 已知曲線 C：xy 1?， nC ：nxy ??? 21 （ ??Nn ）。 【解 】 設(shè) 樹苗集中放置在第 i 號 坑旁邊，則 20 名同學(xué)返所走的路程總和為 2[( 1) ( 2)l i i? ? ? ? ?21?? 1 2 (19 ) ( 20 ) ] 10ii? ? ? ? ? ? ? ? 2( 21 210 ) 20ii? ? ? 22 1 3 9 9[( ) ] 2 024i? ? ? ?即 10 11i? 或 時 min 2020l ? . 【練習(xí) 2】 橢圓 134 22 ?? yx上有 n 個不同的點 nPPP , 21 ? ，橢圓的右焦 點為 F ，數(shù)列 |}{| FPn 是公差大于10001的等差數(shù)列，則 n 的最大值是（ A ） A． 2020 B． 2020 C． 2020 D． 2020 【解】 11 ??? caa ， 3??? caan ，則 202020)1(13 ???????dndn 【練習(xí) 3】 已知數(shù)列 ??na 的通項公式 )(,21log 2 ????? Nnnna n，設(shè)前 n 項和為 nS ，則使 5??nS成立的自然數(shù) n （ B ） A．有最大值 63 B．有最小值 63 C．有最小值 31 D．有最大值 31 【解】 21l og43l og32l og22221 ?????????? nnaaaS nn ?? 522log 2 ???? n 解得 62?n 【練習(xí) 4】 設(shè)曲線 1*()ny x n N???在點（ 1， 1）處的切線與 x 軸的交點的橫坐標(biāo)為 nx ,令 lgnnax? ，則 1 2 99a a a? ? ? 的值為 【解】 點 )1,1( 在函數(shù) 1*()ny x n N???的圖象上 ，所以 )1,1( 為切點， nxny )1(/ ?? 得 1| 1/ ??? ny x ，所以切線方程為 )1)(1(1 ???? xny ，另 0?y 得： 1??nnxn ， 所以 1 2 99a a a? ? ? 2?? ． 【練習(xí) 5】 在 ABC? 中， Atan 是以－ 4 為第 3 項， 4 為第 7 項的等差數(shù)列的公差； Btan 是以 31 為第 3 項， 9 為第 6 項的等比數(shù)列的公比，則該三角形是 （ ） A． 銳角三角形 B． 直角三角形 C． 鈍角三角形 D． 等腰三角形 【解】 237tan 37 ????? aadA ； 327363 ???? qaaq ， 3tan ?B ， )tan (tan BAC ??? 161 5t a nt a n1 t a nt a n ????? ??? BA BA ，所以 該三角形是 銳角三角形 江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 7 頁 共 20 頁 【練習(xí) 6】 在數(shù)列 ??na 中 2,1 21 ?? aa ，且 ),()1(12 ?? ????? Nnaa nnn 則 ?100S ． 【解】 nnn aa )1(12 ????? ， 當(dāng) n 為奇數(shù)時 ， 02 ??? nn aa ，所以 11 ??aan ， 當(dāng) n 為偶數(shù)時 ，22 ??? nn aa ，則 kkaa k 2)1(222 ???? ，所以 nan? ， )( 9931100 aaaS ???? ? )( 1 0 042 aaa ???? ? 260021025050 ????． 【練習(xí) 7】把二進(jìn)制的數(shù) 1011001（ 2） 化 為五進(jìn)制是（ C ） A． 224（ 5） B． 234（ 5） C． 324（ 5） D． 423（ 5