【正文】 ， nnn baa ??1 ， 2221 ??? ?? naa nn ，得 22 ??? nn aa ， 12?a 12)1(222 ????? kkaa k ， 12)1(2112 ?????? kkaa k ，??? ????? )12( )2(1 knn knna n 14 21222 ??? ? naab nnn ， 144 221212 ???? ?? nnaab nnn ， nnaabb nnnn 48 2212212 ???? ?? ???????? ? )()()( 21243212 nnn bbbbbbS ? )1(23 12)(1(4 ???? nnnnn 3 )14)(1(2 ??? nnn 【并項(xiàng)求和】 kkk aaaaaaT 21243212 ??????? ?? 22)]12(31[2 kk ?????? ? 22nTn ? （ n 為偶數(shù)）， )12(2 22212 ?????? kkaTT kkk ， 2 12 ?nTn （ n 為 奇 數(shù)） 例 2．已知 1)( ??bxxf 是關(guān)于 x 的一次函數(shù)， b 為不等于 1的常數(shù)，且)1( )0()]1([(1)( ????? ?? nnngfng 設(shè) )1()( ??? ngnga n )( *Nn? ，則數(shù)列 ??na 為（ ） A．等差數(shù)列 B．等比數(shù)列 C． 遞增數(shù)列 D． 遞減數(shù)列 【解】 bbggfgga ???????? 11)0()]0([()0()1(1 ，當(dāng) 2?n 時(shí)， )1()( ??? ngnga n 1)]2()1([)]2([)]1([ ?????????? nbangngbngfngf ，所以 ??na 是 等比數(shù)列 ． 江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 5 頁 共 20 頁 例 3．已知函數(shù) xxxf tansin)( ?? .項(xiàng)數(shù)為 27的等差數(shù)列 ??na 滿足 ???????? 22 ?? ，na，且公差 0?d .若 0)()()( 2721 ????? afafaf ，則當(dāng) k =___________時(shí) 0( ?kaf . 【解】 函數(shù) xxxf tansin)( ?? 在 ()22??? ，是增函數(shù)，顯然又 為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于 原點(diǎn)對稱，因?yàn)?14262271 2 aaaaa ????? ?， 0)( 14af ， 所以當(dāng) 14k? 時(shí)， 0)( ?kaf . 例 4．已知 )(xf 是定義在 R 上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的 Rba ?, ，滿足 )()( bafbaf ?? )(2 )2(),()2(,2)2(),( ?? ?????? NnfbNnnfafabf n nnnn考查下列結(jié)論： ① )1()0( ff ? ； ② )(xf 為偶函數(shù)； ③數(shù)列 ??na 為等比數(shù)列； ④ ??nb 為等差數(shù)列 . 其中正確的是 ． 【解】 0)1()0( ?? ff ；設(shè) xba ??? ,1 ，因?yàn)?)1(2))]1()1[()1( ??????? fff ， 則 0)1( ??f ，所以 )()1()()( xfxfxfxf ??????? 為奇函數(shù) ； )2(2)2( 1?? nn ff )2(2 1 fn?? )2(2 1?? nf n2? 12 )2(2 )2( 1 1 ??? ??n nn n ff，則 ??nb 為等差數(shù)列； nfnn ?2 )2( ， nnnf 2)2( ?? 則 數(shù)列 ??na 為等比數(shù)列 例 6．設(shè)函數(shù) Rxxx nxxxf ??? ??? (1)(22 ，且 ),2 1 *Nxnx ??? ， )(xf 的最小值為 na ，最大值為 nb ，記 )1)(1( nnn bac ??? ，則數(shù)列 }{nc （ ） A．是公差不為 0 的等差數(shù)列 B．是公比不為 1 的等比數(shù)列 C．是常數(shù)列 D．不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列 【解】由 0)1()1(1)( 222 ????????? ???? nyxyxyxx nxxxfy ， 因?yàn)?2)1( ??? y 0))(1(4 ???? nyy ，則 014)64(3 2 ????? nyny ，所以得： 3 64 ??? nba nn ， 3 14 ?? nba nn ， )1)(1( nnn bac ??? 343 143 641 ??????? nn ． 【函數(shù)方程思想】 例 7． 設(shè) {}na 是各項(xiàng)為正數(shù)的無窮數(shù)列， iA 是邊長為 1,iiaa? 的矩形面積（ 1,2,i? ），則 {}nA 為等比數(shù)列的充要條件為（ ） A． {}na 是等比數(shù)列。 6．這幾年的高考通過選擇題，填空題來著重對三基進(jìn)行考查，涉及到的知識主要有：等差（比）數(shù)列的性質(zhì) . 通過解答題著重對觀察、歸納、抽象等解決問題的基本方法進(jìn)行考查，其中涉及到方程、不等式、函數(shù)思想方法的應(yīng)用等，綜合性比較強(qiáng)，但難度 略有下降 . 四 【 復(fù)習(xí)建議 】 1．對基礎(chǔ)知識要落實(shí)到位，主要是等差（比）數(shù)列的定義、通項(xiàng)、前 n 項(xiàng)和； 2．注意等差（比）數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用； 3．掌握一些遞推問題的解法和幾類典型數(shù)列前 n 項(xiàng)和的求和方法； 4．注意滲透三種數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程的思想、化歸轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想； 5．注意數(shù)列知識在實(shí)際問題中的應(yīng)用，特別是在利率 ,分期付款等問題中的應(yīng)用； 6．?dāng)?shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是高考考查的重點(diǎn)。 等差、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)在解決數(shù)列問題時(shí)應(yīng)用非常廣泛，且十分靈活，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)題目中隱含的相關(guān)性質(zhì)，往往使運(yùn)算簡潔優(yōu)美 4． 對客觀題，應(yīng)注意尋求簡捷方法 解答歷年有關(guān)數(shù)列的客觀題，就會發(fā)現(xiàn)，除了常規(guī)方法外，還可以用更簡捷的方法求解 .現(xiàn)介紹如下： ① 借助特殊數(shù)列 ； ② 靈活運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，可更加準(zhǔn)確、快速地解題，這種思路在解客觀題時(shí)表現(xiàn)得更為突出，很多數(shù)列客觀題都有靈活、簡捷的解法 5． 在數(shù)列的學(xué)習(xí)中加強(qiáng)能力訓(xùn)練 數(shù)列問題對能力要求較高，特別是運(yùn)算能力、歸納猜想能力、轉(zhuǎn)化能力、邏輯推理能力更為突出 .一般來說，考題中選擇、填空題解法靈活多變，而解答題更是考查能力的集中體現(xiàn)，尤其近幾年高考加強(qiáng)了數(shù)列推理能力的考查，應(yīng)引起我們足夠的重視 .因此，在等差數(shù)列的 性質(zhì) 通項(xiàng) 及 前 n 項(xiàng)和 正 整 數(shù) 集 數(shù) 列 的 概 念 等 差 數(shù) 列 等 比 數(shù) 列 等比數(shù)列的 性質(zhì) 有 關(guān) 應(yīng) 用 江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 2 頁 共 20 頁 平時(shí)要加強(qiáng)對能力的培養(yǎng) 。 五 【 典型例題 】 （ 一 ） 等差與等比數(shù)列定義與性質(zhì) 例 1．?dāng)?shù)列 }{na 的前 n 項(xiàng)和 nnSn 42 ?? ，則 naaa ??? ?21 = ． 【解】 521 ???? ? nSSa nnn ， 當(dāng) 3?n 時(shí)， 0?na ， naaa ??? ?21 21 4)( nnaa n ?????? ? ， 當(dāng) 3?n 時(shí)， nn aaaT ???? ?21 naaaa ?????? ?321 22SSn ?? 842 ??? nn 例 2．設(shè) ??nS 是等差數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和，已知 6 36S ? ， 270?nS ， ? ?6 14 4 6nSn? ??，則 n 等于（ ） A． 17 B． 18 C． 19 D． 20 【解】 因?yàn)?270?nS ， 1446 ??nS ， 所以 12651 ???? ?? nnn aaa ? ，又因?yàn)?6 36S ，所以271 ?? naa ， 2702 )( 1 ??? nn aanS ， 解得： 20?n ． 例 3．已知兩個(gè)等差數(shù)列 {}na 和 {}nb 的前 n 項(xiàng)和分別為 An 和 nB ，且 7 453nnA nBn?? ?，則使得 nnab 為 整數(shù)的正整數(shù) n 的個(gè)數(shù)是 （ ） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 【解】由 7 453nnA nBn?? ?得：1212???nnnn BAba 119722 3814 ?????? nnnn ，要使 nnab 為整數(shù)，則需 11271197 ????? nnn 為整數(shù)，所以 5,3,2,1?n 、 11，則有五 種 ． 例 4．無窮等差數(shù)列 }{na 的各項(xiàng)均為整數(shù)，首項(xiàng)為 1a ，公差為 d ， nS 是其前項(xiàng)和， 21,15,3 是其中的三項(xiàng)，給出下列命題： （ A）數(shù)列 }{na 一定是遞增數(shù)列； （ B） 對于任意滿足條件的 d ，存在 1a ，使得 75 一定是數(shù)列 }{na 中的一項(xiàng)； （ C） 對于任意滿足條件的 d ，存在 1a ，使得 60 一定是數(shù)列 }{na 中的一項(xiàng)； （ D） 存在滿足條件的數(shù)列 }{na ，使得對任意的 *Nn? ， nn SS 42 ? 成立 江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 3 頁 共 20 頁 【解】設(shè) 21,15,3 分別為數(shù)列 }{na 的第 tnm, 項(xiàng)，則nmnm aad nm ????? 12，mtd ?? 18； ntd ?? 6，所以公差 d 可 能為 1? ； 2? ； 3? ； 6? ，所以 A 不正確； dmsa m )(75 ??? ， zdms ??? 72 成立，所以 B 正確； dmsa m )(60 ??? ， dms 57?? 不一定為整數(shù)，所以 C不正確；由 nn SS 42 ? 得 111 2)1(24)12(2 addnnnadnnna ??????? 成立，所以 D 正確 例 1a ， d 為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為 1a ，公差為 d 的等差數(shù)列 }{na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，滿足 01565 ??SS ，則 d 的取值范圍是 __________________ . 【解】 因?yàn)?01565 ??SS ， 08)105( 221 ???? dda ， 則 d 的取值范圍 ),22()22,( ?????? 【 等于不等的轉(zhuǎn)化 】 ；另解： 011092 2121 ???? ddaa （確定主元 1a ） 0?? 得 例 6．已知數(shù)列 }{na 、 }{nb 都是公差為 1 的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為 1a 、 1b ，且 511 ??ba ， *11, Nba ? ．設(shè) nbn ac ? （ *Nn? ），則數(shù)列 }{nc 的前 n 項(xiàng)和 ?nS ． 【解】 設(shè) 11?a ， 41?b ， nan? ， 3??nbn ，則 4411 ??? aac b， 3??? nbc nn 2 )34( ??? nnS n 2 )7( ?? nn 【特殊到一般的轉(zhuǎn)化】 例 7． 設(shè) 7211 aaa ???? ? ，其中 7531 , aaaa 成公比為 q 的等比數(shù)列， 642 , aaa 成公差為 1 的等差數(shù)列，則 q 的最小值是 ________ 【解】 231 2 1 2 1 2 11 1 2a a a q a a q a a q? ? ? ? ? ? ? ? ?， 22 2 2 21 , 1 2a q a a q a? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 23qa? ? ? ，而 2 1 2 2 21 , 1 , , 1 , 2a a a a a? ? ? ? ?的最小值分 別為 3 3min 3q??。 D． 1 3 2 1, , , ,na a a ? 和 2 4 2, , , ,na a a 均是等比數(shù)列，且公比相同。 （ 3）設(shè) ),( nnn baP 都在指數(shù)函數(shù) )1,0( ??? aaay x 的圖像上，則 nan ab ? dnn aq )1(21121 ??? ?? 令 1?n ，則 4121 21 ??? aa ， 于是， qq dnn ?? ??? )1(211 )41(21 有唯一解 dq )41(? ， 江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 14 頁 共 20 頁 由于 0?d ， 1??q ，從而滿足條件“ 1P ， 2P ， 3P ，?， nP ，?互不相同