【正文】 ） 【解】 1011001（ 2）)10(0123456 8921202021212021 ??????????????? 012)10( 54525389 ?????? ． 四．解答題 例 1．?dāng)?shù)列 }{na 滿足： ?????????? 為偶數(shù)為奇數(shù)nnannaaannn,2,21,111． （ 1）分別求 5432 , aaaa 的值； （ 2）設(shè) *2 ,2 Nnab nn ??? ，證明數(shù)列 }{nb 是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式； （ 3）在（ 2）條件下，求數(shù)列 }{na 前 100 項(xiàng)中所有偶數(shù)項(xiàng)的和 S ． 【解】（ 1） 425,47,25,235432 ?????? aaaa （ 2）nnbb1? 212)4(212212212222212222 ? ????? ??????? ??nnnnnn a nnaa naaa 21212122 ????nnaa （利用 定義法證明等比數(shù)列） 21221 ???? ab ∴ 數(shù)列 }{nb 是等比數(shù)列，且 ??? )21(nb nn )21(211 ??? （ 3）由（ 2）得： 22 ?? nn ba )50,3,2,1()21(2 ???? nn 211)2 11(21502 5010042?????????? aaaS ? 5050 2199211100 ????? ． 例 2． 已知函數(shù) )(xf 滿足：對(duì)任意的 0, ?? xRx ，恒有 xxf ?)1( 成立， 數(shù)列 }{}{ nn ba 、 滿足 江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 8 頁(yè) 共 20 頁(yè) 1,1 11 ?? ba ，且對(duì)任意 ??Nn ，均有 2)( )(1 ???nnnn af afaa ，nnn abb11 ??? ． （ 1） 求函數(shù) )(xf 的解析式 ； （ 2） 求數(shù)列 }{}{ nn ba 、 的通項(xiàng)公式 ； （ 3） 對(duì)于 ]1,0[?? ，是否存在 ??Nk ，使得當(dāng) kn? 時(shí)， )()1( nn afb ??? 恒成立？若存在，試求 k 的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 ． 【解】 （ I ） 由 xxf ?)1(， 易得 )0(,1)( ?? xxxf ( II )由2)( )(1 ??? n nnn af afaa得 21)(211 1 ????? nnnnn aafaaa，所 以 2111 ??? naa 所以數(shù)列 }1{na是以 1 為首項(xiàng)， 2 為公差的等差數(shù)列 所以 12)1(211 ????? nna n，得 ???? Nnna n ,12 1. 因?yàn)?.1211 ????? nabb nnn 所以 112211 )()()( bbbbbbbb nnnnn ??????????? ??? （ 累加法求通項(xiàng)） 113)52()32( ??????????? nn 2212 )22)(1( 2 ??????? nnnn . （ III） 對(duì)于 ]1,0[?? 時(shí)， )()1( nn afb ??? 恒成立， 等價(jià)于 ]1,0[?? 時(shí) ????? )1(222 ?nn )12( n 恒成立， 等價(jià)于 ]1,0[?? 時(shí)， 034)12( 2 ?????? nnn ? 恒成立 ，（ 確定主元 ? ） 設(shè) 034)12()( 2 ?????? nnng ?? ，對(duì)于 ]1,0[?? ， 034)12( 2 ?????? nnn ? 恒成立， 則有??? ?? ,0)1( ,0)0(gg解得 3?n 或 1?n 由此可見(jiàn)存在 ??Nk 使得當(dāng) kn? 時(shí)， )()1( nn afb ??? 恒成立，其最小值為 3. 例 3． 已知 *, Nnmba ? ， }{na 是首項(xiàng)為 a ，公差為 b 的等差數(shù)列； }{nb 是首項(xiàng)為 b ，公比為 a 的等比數(shù)列，且滿足 32211 ababa ???? ． （ 1）求 a 的值； （ 2）數(shù)列 }1{ ma? 與數(shù)列 }{nb 的公共項(xiàng)，且公共項(xiàng)按原順序 排列后構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列 }{nc ，求 }{nc 的前 n 項(xiàng)之和 nS ． 【 解 】 （ 1） ∵ bmaam )1( ??? ， 1??? nn abb ， 由已知 baabbaba 2?????? ， ∴ 由 abba ??2 ， a、 ??Nba, 得 ： baa ??1 ． ∵ 10 ??ba ， ∴ 2?a ． 又得 abb ??1 ，而 1?ab ， ∴ 3?b ． 再由 baab 2?? ， 3?b ，得 3)111(212 ?????? bb ba ． 江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 9 頁(yè) 共 20 頁(yè) ∴ 32 ??a ∴ 2?a ． （ 2）設(shè) nm ba ??1 ，即 1)1(1 ?????? nabbma ∴ 12)1(3 ????? nbbm ， ?? ???? N)1(2 31 mb n． ∵ 3?b ， ∴ 1)1(2 1 ???? mn ． ∴ mn ??12 ． ∴ 123 ???? nnn bc ． 例 4． 已知函數(shù) 2)1()( ?? xxf ， 數(shù)列 }{na 是公差為 d 的等差數(shù)列 ， }{nb 是公比為 q )1( ?q 的等比數(shù)列 .若 )1(1 ?? dfa ， )1(3 ?? dfa ， )1(1 ?? qfb ， )1(3 ?? qfb （ 1） 求 數(shù)列 }{na ， }{nb 的通項(xiàng)公式； （ 2） 設(shè)數(shù)列 }{nc 對(duì)任意自然數(shù) n 均有nnn nbcbcbca ????? ?22111 2 ， 求 1231 ???? nccc ? 的值； （ 3） 試比較13 13 ??nnbb與21??nnaa 的大小 . 【 解 】 （ 1） ∵ daa 213 ?? ， ∴ ( 1) ( 1) 2f d f d d? ? ? ?. 即 ddd 2)2( 22 ??? ， 解得 2?d ∴ 1 (2 1) 0af? ? ?. ∴ )1(2 ?? nan . ∵ 231b qb? , ∴ 22 2( 1)( 1) ( 2 )f q qqf q q? ????. ∵ 0, 1qq??, ∴ 3q? . 又 1)1(1 ??? qfb ， ∴ 13?? nnb （ 2） 由題設(shè)知112 bca ? ， ∴ 2121 ?? bac . 當(dāng) 2?n 時(shí) , nnn nbcbcbca ????? ?22111 2 , 112211 )1(2???????nnn bn cbcbca ?, 兩式相減 ， 得 21 ???? nnnn nbcaa ∴ 1322 ???? nnn nnbc （ 2211 ?? abc 適合 ） 設(shè) 1231 ????? nn cccT ? 則 2242 3)24(310362 ?????????? nn nT ? nnn nnT 222642 3)24(3)64(31036329 ????????????? ?? 兩式相減 ， 得 nnn nT 22242 3)24(34343428 ???????????? ?? 江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 10 頁(yè) 共 20 頁(yè) nn n 9)24(291 )91(9 ??????? nn 928525 ????? 所以 nn nT 916 58165 ???? （ 3）13 2113 13 ????? nnnbb, 22 2121 ????? naann 現(xiàn)只須比較 13?n 與 22?n 的大小 . 當(dāng) 1?n 時(shí) , 3 1 4 2 2n n? ? ? ?； 當(dāng) 2?n 時(shí) , 3 1 10 2 2 6n n? ? ? ? ?； 當(dāng) 3?n 時(shí) , 3 1 28 2 2 8n n? ? ? ? ?； 當(dāng) 4?n 時(shí) , 3 1 82 2 2 10n n? ? ? ? ?. 猜想 2n? 時(shí)， 3 1 2 2n n? ? ? . 用數(shù)學(xué)歸納法證明 （ 1） 當(dāng) 2?n 時(shí)，左邊 3 1 10n? ? ? ，右邊 2 2 6n? ? ? ， 3 1 2 2n n? ? ? 成立 . （ 2） 假設(shè)當(dāng) kn? 時(shí) , 不等式成立，即 3 1 2 2k k? ? ? . 當(dāng) n=k+1 時(shí) , 13 1 3 3 1 3 1 2 3k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 3 2 2 2kkk? ? ? ? ? ? ?2( 1) 2k? ? ? . 即當(dāng) 1??kn 時(shí)，不等式也成立 . 由（ 1） （ 2） ，可知 2n? 時(shí)， 3 1 2 2n n? ? ? 都成立 . 所以 3 1 2 2n n? ? ? （當(dāng)且僅當(dāng) n＝ 1 時(shí)，等號(hào)成立） 所以 2131n? ? 21 22n???.即 31nnbb?? 12nnaa???. 【另解】 221211)21(13 ?????????? nnnn ? 例 5． 設(shè) 0,b? 數(shù)列 ??na 滿足 11 1= , ( 2 )22nn n nbaa b a nan??????, （ 1） 求數(shù)列 ??na 的通 項(xiàng)公式； （ 2） 證明：對(duì)于一切正整數(shù) n ， 11 12nn nba???? 【解】 （ 1）由 11 11 1 2 10 , 0 , .22nn n n nnba nna b a a n a b b a??? ?? ? ? ? ? ???知 令1 1,n nnAAab??， 當(dāng) 2?n 時(shí)，121 ??? nn AbbA2112 1 11 2 2 2nn Ab b b b??? ? ? ? ? 21211 2 2 2 .nnb b b b???? ? ? ? ? ① 當(dāng) 2b? 時(shí)， 12(1 )2 ,2 ( 2 )1nnnn nbbbAbbb??? ????????? ② 當(dāng) 2?b 時(shí)， 2nAn?， ( 2 ) ,222 , 2nnnnn b b ba bb? ? ??? ????? 江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 11 頁(yè) 共 20 頁(yè) （ 2）當(dāng) 2b? 時(shí)， 要證 11 12nn nba????，只需證 122 )2( 112 ??? ? ??nnnn bb bnb 只需證22)12( 11 ????? ?? bbbnb nnnnn 22)2(2 111 ?????? ??? bbbbn nnnnnn 因?yàn)?1 1 1 1 1 2 12( 2 ) ( 2 ) ( 2 2 )2nnn n n n n n nbb b b bb? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? 1 1 2 2 2 2 2 1 1 12 2 2 2 2n n n n n n n n nb b b b b? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 212 2 22 ( )222n n nnn n n nb b bb b bb ??? ? ? ? ? ? ? ? 12 ( 2 2 2 ) 2 2 2n n n n n nb n b n b?? ? ? ? ? ? ? ?， 11( 2 ) nnn n n nn b b ba b???? ? ? ?? 當(dāng) 112 ,