【正文】 ? （ 2） nn anb )28( ??1242 28 ????? nn nn nn bbbbT ????? ?321 132 242 1212213 ????????? n n?（利 用錯位相減法求和） nnn nnT 24232 121222321 1432 ?????????? ?? 作差得：nnn nT 242 12 12 12 12 1321 1432 ?????????????? ?? 4242 12 12 12 12 11 1432 ???????????????? ? nn n? 江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 13 頁 共 20 頁 424211))21(1(??????? nn nnn2 22 ???， 42 24 1 ???? ?nn nT， 因為 22)11(2 110 ????????? ? nCCCC nnnnnnnn ?， 所以 42 22 21 ????? nnn n，所以 40 ?? nT 例 8． 已知點 (1, 0) , (0,1)AB和互不相同的點 1P ， 2P ， 3P ，?， nP 滿足 OBbOAaOP nnn ?? ? ?*nN? 其中 { } { }nnab、 分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列， O 為坐標(biāo)原點，若 1P 是線段 AB 的中點 ． （ 1）求 11,ab的值； （ 2）點 1P ， 2P ， 3P ，?， nP ，?能否共線？證明你的結(jié)論； （ 3）證明：對于給定的公差不零的 {}na ，都能找到唯一的一個 {}nb ，使得 1P ， 2P ， 3P ，?， nP ，?，都在一個指數(shù)函數(shù)的圖象上 ． 【 解 】 （ 1） 1P 是線段 AB 的中點 OBOAOP21211 ??? 又 OBbOAaOP 111 ?? ，且 OBOA, 不共線， 由平面向量基本定理，知： 2111 ??ba (2) 由 *( ) ( , )n n n n n nO P a O A b O B n N O P a b? ? ? ? ? 設(shè) }{na 的公差為 d ， }{nb 的公比為 q ，則由于 1P ， 2P ， 3P ，?， nP ，?互不相同，所以 0?d ， 1?q 不會同時成立； 若 0?d ，則 )(21 *1 Nnaa n ???， 1P ， 2P ， 3P ，?， nP ，?都在直線 21?x 上； 若 1?q ，則 12nb?為常數(shù)列 ， 1P ， 2P ， 3P ，?， nP ，?都在直線 21?y 上； 若 0?d 且 1?q ， 1P ， 2P ， 3P ，?， nP ，?共線 ? 1nnPP? ? 11( , )n n n na a b b????與 1 1 1( , )n n n n n nP P a a b b? ? ?? ? ?共線（ *,1 Nnn ?? ） 11( ) ( )n n n na a b b??? ? ? ?11( )( ) 0n n n na a b b??? ? ? 1()nnd b b?? ? ? 1( ) 0nnd b b ??? 1()nnbb?? ? ? 1()nnbb?? 1q??與 1?q 矛盾， ∴當(dāng) 0?d 且 1?q 時， 1P ， 2P ， 3P ，?， nP ，?不共線。而且往往還以解答題的形式出現(xiàn)，所以我們在復(fù)習(xí)時應(yīng)給予重視。 （Ⅲ）求證：52|| 1|| 1|| 1 21231221 ???? npppppp ? )2( ?n ． 【解】（ 1），因為點 ))(,( *NnbaP nnn ? 都在直線 l ： 22 ?? xy 上 所以 22 ?? nn ab 又因為 )0,1(1 ?P ，所以 11 ??a ， 0?nb ， 所以 2)1(1 ?????? nna n ， 2222 ???? nab nn （ 2）??? ??? 為偶數(shù)， 為奇數(shù) nn nnnf 22 ,2)( ， 5)(2)5( ??? kfkf 當(dāng) k 為偶數(shù)時， 5?k 為奇數(shù)，所以 5)22(225 ????? kk ，得 4?k 當(dāng) k 為奇數(shù)時， 5?k 為偶 數(shù)，所以 5)2(22)5(2 ????? kk 不成立， 綜上，存在唯一的 4k? 符合條件 （ 3） )0,1(1 ?P ， )22,2( ?? nnPn ， 22221 )1(5)22()1(|| ?????? nnnPP n 則 )1121(51)2)(1( 151)1(5 1|| 1 221 ?????????? nnnnnPP n )3( ?n )11213121211(5151|| 1|| 1|| 1 21231221 ????????????? nnpppppp n ?? 52)1(5 15151 ????? n 【 練習(xí) 3】 設(shè) 等差數(shù)列 {}na 的首項 a1 及公差 d 都為整數(shù)，前 n 項和為 nS ． （ 1）若 011?a ， 9814?S ,求數(shù)列 {}na 的通項公式； （ 2）在（ 1）的條件下求 nS 的表達式并求出 nS 取最大值時 n 的值 ； （ 3）若 61?a ， 011?a ， 7714?S ，求所有可能的數(shù)列 {}na 的通項公式 ． 【解】 （ 1） 由 11 140, 98aS??得 1110 014 91 98adad???? ???解得： 1 202ad??? ??? ? ?1 1 22 2na a n d n? ? ? ? ? ? （ 2） ? ?1 2212 nn a a nS n n?? ? ? ?（等差數(shù)列前 n 項的和 nS 是一個沒有常數(shù)項的二次函數(shù)） 令 0na? 得 11n? ?當(dāng) 11n? 時， nS 取得最大值 江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 16 頁 共 20 頁 （ 3）由 61?a ， 011?a ， 7714?S 得： 111610 014 91 77aadad?????????? (1)(2)(3) )14()2( ?? 得： 014014 1 ??? da （ 4） )14()1( ?? 得： 8414 1 ??? a （ 5） )4()3( ? 得： 711??d ； )3()5( ? 得： 917??d ,1d Z d? ? ? ? 代入（ 2）、（ 3）得： 111014 168a a??? ?? 110 12a? ? ? 11, 11a Z a? ? ? 或 12 12 13nna n a n? ? ? ? ?或 【練習(xí) 4】已知函數(shù)xxxf 3 32)( ??，數(shù)列 {}na 滿足 11?a ， )1(1 nn afa ??， Rn? ． （ 1） 求數(shù)列 {}na 的前 n 項和公式； （ 2） 令 12221254433221 ?? ??????? nnnnn aaaaaaaaaaaaT ?； （ 3） 令nnn aab 11??)2( ?n ， 31?b ， nn bbbS ???? ?21 ，若 22020?? mSn 對一切 *Nn? 都成立，求 m 的最小值 ． 【解】 （ 1） 因為 xxxf 3 32)( ?? ， )1(1 nn afa ??， 所以 323323321 ??????? nnnnn aaaaa ， 則 321 ??? nn aa，所以 3132)1(321 ????? nnan； （ 2） )( 12122122212 ???? ??? nnnnnnn aaaaaaa （ 并項求和） )1343134)(3134( ????? nnn )3134(34 ???? n 12221254433221 ?? ??????? nnnnn aaaaaaaaaaaaT ? ]3)21(34[34 nn ?????? ? 942 )1(916 nnn ????? 9 )32(4 ??? ； （ 3）)12)(12( 911 ???? ? nnaab nnn )12 112 1(29 ???? nn )2( ?n（裂項相消） nn bbbS ???? ?21 )12 112 171515131(293 ?????????? nn? )12 131(293 ???? n 江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 17 頁 共 20 頁 因為22020?? mSn對 一切 *Nn? 都成立， 所以m ax)(22020 nSm ??，則 2019?m 【練習(xí) 5】 已知函數(shù) )(24 1)( Rxxf x ???. （ 1）證明21)1()( ??? xfxf； （ 2）若數(shù)列 ??na 的通項公式為 ),2,1,)(( * mnNmmnfa n ????，求數(shù)列 ??na 的前 m 項和 mS ； （ 3）設(shè)數(shù)列 ??nb 滿足：nnn bbbb ??? ? 211 ,31，設(shè)111111 21 ??????? nn bbbT ?，若（ 2）中的 mS 滿足對任意不小于 2的正整數(shù) m ， nm TS ? 恒成立，試求 m 的最大值 . 【解】 （ 1）∵24 1)( ?? xxf， ∴)24(2 4424 424 1)1( 1 ???????? ? xxxxxxf， ∴21)24(2 42)24(2 424 1)1()( ?????????? xxxxxxfxf. （ 2）由（Ⅰ）可知 21)1()( ??? xfxf ， ∴ )11(21)1()( ?????? mkmkfmkf ， 即 21)()( ??? m kmfmkf .（ 中心對稱的函數(shù)） ∴ 21???kmk aa， 61)1()( ??? fmmfam， 又 mmm aaaaS ????? ? 121 ? ① mmmm aaaaS ????? ?? 121 ? ② ① +②得 612221)1(2 ?????? mamSmm，（ 倒序相加法求數(shù)列的和） ∴ )13(121 ?? mSm. （ 3）∵ )1(,31 211 ????? ? nnnnn bbbbbb ③ ∴對任意 0,* ?? nbNn ④ 由③、④得111)1( 11 1 ?????? nnnnn bbbbb，∴11111???? nnn bbb（變形裂項） ∴111132211311)11()11()11(??? ??????????? nnnnn bbbbbbbbbT ? 江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 18 頁 共 20 頁 ∵ 021 ???? nnn bbb ，∴ nn bb ??1 .（作差 比較 判斷單調(diào)性） ∴數(shù)列 ??nb 是單調(diào)遞增數(shù)列 . ∴ nT 關(guān)于 n 遞增， ∴ 當(dāng) 2* ,2 TTNnn n ??? 時且 . ∵8152)194(94,94)131(31,31 321 ??????? bbb， ∴527513 32 ???? bTT n. 由題意5275?mS，即5275)13(121 ??m， ∴394639238 ??m ∴ m 的最大值為 6. 【練習(xí) 6】 已知曲線 C：xy 1?， nC ：nxy ??? 21 （ ??Nn ）。江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 1 頁 共 20 頁 數(shù)列 （ 5課時）