【正文】 從 C 上的點 ),( nnn yxQ 作 x 軸的垂線，交 nC 于點 nP ，再從點 nP 作 y 軸的垂線，交 C 于點 ),( 111 ??? nnn yxQ ，設(shè) 11?x ，nnn xxa ?? ?1 1??? nnn yyb ． （ I）求 21, 的坐標； （ II）求數(shù)列 ??na 的通項公式； （ III）記數(shù)列 ? ?nn ba ? 的前 n 項和為 nS ，求證： 31?nS． 【 解 】 （ 1）由題意得知 )1,1(1Q ， )32,1(1P， )32,23(2Q （ 2） ),( nnn yxQ? ， ),( 111 ??? nnn yxQ ，點 nP 的坐標為 ),( 1?nn yx 1, ?nn ? 在曲線 C 上，nn xy1?? ，111?? ? nn xy 又 nP 在曲線 nC 上 ，nnn xy ?? ?? 211（點數(shù)列的常用作法） nnn xx ?? ??? 21 nna ??? 2 （ 3） ????? ??? )()( 211 nnnnn xxxxx ?? + 112 )( xxx ?? 1222 1)2()1( ????? ????? ??nn nn?????? 122211)21(1 )11(2)()(111 ???? ????????nnnnnnnnn xxyyxxba )22 122 1(2 1 nnn ??? ???? )122()22( 1 ?????? nn ? nn 2222 ??? ， 3122 ??? n 江西省于都中學 2020 屆高三第二輪 復習資料 (數(shù)列 ) 第 19 頁 共 20 頁 nnn ba 23 1????（放縮成等比 數(shù)列） nnnn bababaS 23 123 123 1 22211 ??????????? ???? 31)211(31211)21(161 ??????? nn 【練習 7】 在 m 個不同數(shù)的排列 nPPP ?21 中，若 mji ???1 時， ji PP? （即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），稱 iP 與 jP 構(gòu)成一個逆序，一個排列的全部逆序數(shù)的總數(shù)稱為該排列的逆序 數(shù)，記排列 321)1()1( ??? nnn 的逆序數(shù)為 na ，若排列 21 的逆序數(shù)為 11?a ，排列 321 的逆序數(shù)為 32?a ， 排列 4321 的逆序數(shù)為 63?a ． （ 1）求 54,aa ，并寫出 na 的表達式； （ 2）設(shè)數(shù)列 }{na 的前 n 項和為 nS ， 求 證：2311 ????ni in ST （ 3）令nnnnn aaaab 11?? ??，證明 ： 322 21 ?????? nbbbn n? ． 【 解 】 （ I）由已知得 15,10 54 ?? aa ， .2 )1(12)1( ???????? nnnna n ? （ II） ?nS )21(21)21(21 222 nn ??????? ?? 4 )1(12 )12)(1( ????? nnnnn 6 )2)(1(12 )42)(1( ?????? nnnnnn 所以 ])2)(1( 1)1( 1[3)2)(1( 61 ???????? nnnnnnnS n ??? ni in ST 1 1 ?????? ?121616121(3 ))2)(1( 1)1( 1 ???? nnnn 23))2)(1( 121(3 ????? nn （ 3） 因為 ,2,1,22222211 ???????????? ?? nnnn nnnn naaa ab nnn nn 所 以 .221 nbbb n ???? ? 又因為 ?,2,1,222222 ????????? nnnnnn nbn（利用裂項相消） 所以 )]211()4121()3111[(2221 ???????????? nnnbbb n ?? 32221232 ???????? nnnn 綜上， ,2,1,322 21 ?? ??????? nnbbbn n 江西省于都中學 2020 屆高三第二輪 復習資料 (數(shù)列 ) 第 20 頁 共 20 頁 【練習 8】 已知函數(shù) )1,)((axRxxf ??滿足 ( ) 2 ( )ax f x bx f x? ? ?， 0?a ， 1)1( ?f ；且使xxf 2)( ? 成立的實數(shù) x 只有一個 ． （ Ⅰ ）求函數(shù) )(xf 的表達式； （ Ⅱ ）若數(shù)列 ??na 滿足321?a， )(1 nn afa ?? ，nnn aab ??1 ， *Nn? ，證明數(shù)列 ??nb 是等比數(shù)列，并求出 ??nb 的通項公式； （ Ⅲ ）在（ Ⅱ ）的條件下，如果 )(,)1(1 ????? Nnbc nnn, nn cccS ???? ??21 ,證明：23?nS，*Nn? ． 【解】 （ Ⅰ ）由 ( ) 2 ( )ax f x bx f x? ? ?，ax 1?， 0?a ，得12)( ?? axbxxf 由 1)1( ?f ，得 12 ?? ba ， 由 xxf 2)( ? 只有一解，即 xaxbx 212 ??， 也就是 )0(0)1(22 2 ???? axbax 只有一解， ∴ 0024)1(4 2 ????? ab ∴ 1??b ∴ 1??a .故12)( ?? x xxf （ Ⅱ ） ∵ 321?a，12)(1 ???? n nnn a aafa ∴ )11(211 1 ??? nn aa 即 )11(2111 1 ???? nn aa， ∴nn bb 2111 ??即 )(21 ?? ?? Nnbb nn 則數(shù)列 ??nb 是首項 21?b ，公比為 2 的等比數(shù)列 ，則 )(,2 ??? Nnb nn （ Ⅲ ）當 n 為偶數(shù)時 , 1111111 22 2212222 2212 112 1 ??????? ??????? ??????? nnnnnnnnnnnnnn cc 即11 2 121 ?? ??? nnnn cc （放縮成等比數(shù)列） ∴ ???? ???????????5432321 212121211nn ccccS 即23211211 2 ????nS 當 n 為 奇 數(shù)時 , 同理可得 。 ∴當對于給定的 {}na ，都能找到唯一的一個 {}nb ，使得 1P ， 2P ， 3P ，?， nP ，?，都在 指數(shù)函數(shù) xy )41(?的圖象上 . 【練習 1】 已知數(shù)列 }{na 是等比數(shù)列，其中 13?a ，且 4a ， 15?a ， 6a 成等差數(shù)列，數(shù)列 }{nnba 的前 n 項和 12)1( 2 ??? ?nn nS ． （ Ⅰ）求數(shù)列 }{na 、 {}nb 的通項公式； （Ⅱ）設(shè)數(shù)列 }{nb 的前 n 項和為 nT ，若 tTT nn ??3 對一切正整數(shù) n 都成立，求實數(shù) t 的取值范圍． 【解】 (Ⅰ )設(shè) }{na 的公比為 q ,因為 13?a ，所以 36254 , qaqaqa ??? , ∵ 4a ， 15?a ， 6a 成等差數(shù)列 , ∴ 32 )1(2 qqq ??? ,解得 2?q , ∴ 333 2 ?? ?? nnn qaa . 當 1?n 時 , 1111 ??Sba, ∴4111 ??ab. 當 2?n 時 , 31 2 ?? ???? nnnnn nSSba, ∴ nn ab nnn 12 3 ??? ?. 綜上 , ??????????.2,1,1,41nnnbn （ 注意首項的驗證 ） (Ⅱ )記 )12141(3 111121413 nnnnTTA nnn ??????????????????????? .312111 nnn ????????? 則 nn AA ??1 )3 111(33 123 113 13 13121 nnnnnnnn ?????????????????????? 1133 123 113 1 ???????? nnnn .033 223 113 1 ??????? nnn （利用比較法證證明單調(diào)性） ∴ nn AA ??1 . ∴ }{nA 中的最小項是 6541312141131 ??????? TTA. ∵ tTT nn ??3 對一切正整數(shù) n 都成立 , ∴ 65?t . 【練習 2】 已知點 ))(,( *NnbaP nnn ? 都在直線 l ： 22 ?? xy 上， 1P 為直線 l 與 x 軸的交點，數(shù)列}{na 成等差數(shù)列，公差為 1． 1,3,5 江西省于都中學 2020 屆高三第二輪 復習資料 (數(shù)列 ) 第 15 頁 共 20 頁 （Ⅰ）求數(shù)列 }{na ， }{nb 的通項公式； （Ⅱ）若???? 為偶數(shù)， 為奇數(shù)， nb nanfnn)( 問是否存在 *Nk? ，使得 5)(2)5( ??? kfkf 成立？若存 在，求出 k 的值，若不存在，說明理由。( ) 3 3 [ ( 1 ) ] ( 2)n n nf x a x t a a n??? ? ? ? ?．由 題意 0)( ?? tf ， 即 2113 ( ) 3 [ ( 1 ) ] ( 2)n n na t t a a n??? ? ? ?， ∴ 11( ) ( 2)n n n na a t a a n??? ? ? ?， ∵ 0t? 且 1t? ， ∴ 數(shù)列 1{}nnaa? ? 是以 2tt? 為首項， t 為公比的等比數(shù)列， 211 2 13 2 1( ) ( 1 ) , ( 1 ) ,( 1 ) , ( 1 )nnnnnnna a t t t t t a a t ta a t t a a t t????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 以上各式兩邊分別相加得 211 ( 1 ) ( )nna a t t t t ?? ? ? ? ? …， ∴ ( 2)nna t n??（ 累加法求通項） 當 1n? 時， 上式也成立， ∴ nnat? （ 2）當 2?t 時，12 ( 2 1) 1222nn nnb ??? ? ? 2112112)2 121211(2 12??????????? ? nnn nnS ? .21222)211(22 nn nn ??????? 江西省于都中學 2020 屆高三第二輪 復習資料 (數(shù)列 ) 第 12 頁 共 20 頁 由 2020nS ? ，得 12 2 2 ( ) 2 0 0 82 nn ? ? ?， 1( ) 10052 nn??， 當 111 0 0 4 , ( ) 1 0 0 5 , 1 0 0 5 , ( ) 1 5 0 022nnn n n n? ? ? ? ? ?時 當 時， 因此 n 的最小值為 1005． （ 3） ∵1111 1 1 1 1()( 1 ) ( 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2 1 2 1k k k k kkkaa ??? ? ? ?? ? ? ? ? ?（裂項相消） 令 ( ) 2kgk? ，則有：11( ) 1 1( 1 ) ( 1 ) 2 1 2 1kkkkgkaa ?? ??? ? ? ? 則11111( ) 1 1( ( )( 1 ) ( 1 ) 2 1 2 1nnk k kkkkgkaa ????? ??? ? ? ??? 2 2 3 11 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1nn ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?…11 1 13 2 1 3n?? ? ?? 即 存在 函數(shù) ( ) 2xgx? 滿足條件． 例 7． 已 知曲線 C ： )0(2 ?? xxy