20xx屆高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)(空間位置關(guān)系與證明)-wenkub.com
2025-08-10 11:24 本頁面
【正文】 所以 AF⊥BD. 因為 直線 AF 為直線 PA 在平面 ABCD 內(nèi)的身影，所以 PA⊥BD. 【點晴】 本小題主要考查棱錐的體積、二面角、異面直線所成的角等知識和空間想象能力、分析問題能力，解題的關(guān)鍵是二面角的使用。 ， 23BM? ， 103AM? ， 103CM? ． 2 2 2 1c o s 25A M C M A CA M C A M C M??? ? ? ? ． 于是 1 0y? ，取 1 1z? ，則 1 2x? ， (201)? ， ，n ． 設(shè) 2 2 2()x y z? ， ，m 為平面 11BBCC 的法向量， A B C D 1A 1B 1C 1D x y z 4 1 2 2 220B B x y z? ? ? ? ?m ( 2 2 0 ) ( 2 2 0 ) 0D B A C ? ? ?， ， ， ， 則232737213aaP A A DA M aPDa? ? ? PA AB BC??， E 是 PC 的中點． （ Ⅰ ）證明 CD AE? ； （ Ⅱ ）證明 PD? 平面 ABE ； （ Ⅲ ）求二面角 A PD C??的大?。? （ Ⅰ ）證明：在四棱錐 P ABCD? 中， 因 PA? 底面 ABCD ， CD? 平面 ABCD ，故 PA CD? ． AC C D PA AC A??，∵ ， CD?∴ 平面 PAC ． 而 AE? 平面 PAC ， CD AE?∴ ． （ Ⅱ ）證明：由 PA AB BC??， 60ABC??176。 ，可得 AC PA? ． E∵ 是 PC 的中點， AE PC?∴ ． 由（ Ⅰ ）知， AE CD? ，且 PC CD C? ，所以 AE? 平面 PCD ． 而 PD? 平面 PCD ， AE PD?∴ ． PA?∵ 底面 ABCD PD， 在底面 ABCD 內(nèi)的射影是 AD ， AB AD? ， AB PD?∴ ． 又 AB AE A?∵ ，綜上得 PD? 平面 ABE ． （ Ⅲ ）解法一：過點 A 作 AM PD? ，垂足為 M ，連結(jié) EM ．則（ Ⅱ ）知， AE? 平面 PCD ，AM 在平面 PCD 內(nèi)的射影是 EM ，則 EM PD? ． 因此 AME? 是二面角 A PD C??的平面角． 由已知，得 30CAD??176。． 在 CMFRt△ 中，12ta n 7714aCFCM F FMa? ? ?． 所以二面角 A PD C??的大小是 arctan 7 ． 所以二面角 A PD C??的大小是 14arcsin4． 變式： 如圖，在五面體 ABCDEF 中，點 O 是矩形 ABCD 的對角線的交點，面 CDE 是等邊三角形，棱 //12EF BC?． （ 1）證明 FO //平面 CDE ； （ 2）設(shè) 3BC CD? ，證明 EO? 平面 CDF ． 證明 ： （ Ⅰ ）取 CD 中點 M，連結(jié) OM. 在矩形 ABCD 中， 1//2OM BC，又 1//2EF BC，則 //OMEF ， 連結(jié) EM，于是四邊形 EFOM 為平行四邊形 . //FO EM? 又 FO? 平面 CDE， EM? 平面 CDE， ∴ FO∥ 平面 CDE （ Ⅱ ）證明：連結(jié) FM，由（ Ⅰ ）和已知條件，在等邊 △CDE 中， ,CM D M E M CD??且 3122E M C D B C E F? ? ?. 因此平行四邊形 EFOM 為菱形，從而 EO⊥FM 而 FM∩CD=M ， ∴CD⊥ 平面 EOM，從而 CD⊥EO. 而 FM CD M??
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