20xx屆高三數(shù)學第二輪復習(空間位置關系與證明)-文庫吧
2025-07-21 11:24 本頁面
【正文】 EF 中，點 O 是矩形 ABCD 的對角線的交點，面 CDE 是等邊三角形，棱 //12EF BC?． （ 1）證明 FO //平面 CDE ； （ 2）設 3BC CD? ，證明 EO? 平面 CDF ． 證明 ： （ Ⅰ ）取 CD 中點 M，連結(jié) OM. 在矩形 ABCD 中， 1//2OM BC，又 1//2EF BC，則 //OMEF ， 連結(jié) EM，于是四邊形 EFOM 為平行四邊形 . //FO EM? 又 FO? 平面 CDE， EM? 平面 CDE， ∴ FO∥ 平面 CDE （ Ⅱ ）證明：連結(jié) FM，由（ Ⅰ ）和已知條件，在等邊 △CDE 中， ,CM D M E M CD??且 3122E M C D B C E F? ? ?. 因此平行四邊形 EFOM 為菱形，從而 EO⊥FM 而 FM∩CD=M ， ∴CD⊥ 平面 EOM，從而 CD⊥EO. 而 FM CD M??，所以 EO⊥ 平面 CDF. 【點晴】 本小題考查直線與平面平行、直線與平面垂直等基礎知識，注意線面平行和線面垂直判定定理的使用，考查空間想象能力和推理論證能力。 【范例 2】 （ 07 安徽）如圖，在六面體 1 1 1 1ABCD A B C D? 中，四邊形 ABCD 是邊長為 2 的正方形，四邊形 1 1 1 1ABCD 是邊長為 1 的正方形， 1DD? 平面 1 1 1 1ABCD ， 1DD? 平面 ABCD ， 1 2DD? ． A B C D 1A 1B 1C 1D M A B C D P E F M 3 （ Ⅰ ）求證： 11AC 與 AC 共面， 11BD 與 BD 共面． （ Ⅱ ）求證：平面 11AACC? 平面 11BBDD ； （ Ⅲ ）求二面角 1A BB C??的大小（用反三角函數(shù)值表示）． 證明：以 D 為原點，以 1DA DC DD， ， 所在直線分別為 x 軸， y 軸 ， z 軸建立空間直角坐標系 D xyz? 如圖， 則有 11 1 1( 2 0 0 ) ( 2 2 0 ) ( 0 2 0 ) (1 0 2 )(1 1 2 ) ( 0 1 2 ) ( 0 0 2 )A B C AB C D， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，． （ Ⅰ ）證明： 1 1 1 1( 1 1 0 ) ( 2 2 0 ) ( 1 1 0 ) ( 2 2 0 )A C A C D B D B? ? ? ? ? ?， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，∵ ． 1 1 1 122A C A C D B D B??，∴ ． AC∴ 與 11AC 平行， DB 與 11DB 平行， 于是 11AC 與 AC 共面， 11BD 與 BD 共面． （ Ⅱ ）證明： 1 ( 0 0 2 ) ( 2 2 0 ) 0D D A C ? ? ?， ， ， ， ， ( 2 2 0 ) ( 2 2 0 ) 0D B A C ? ? ?， ， ， ， ， 1DD AC?∴ ， DB AC? ． 1DD 與 DB 是平面 11BBDD 內(nèi)的兩條相交直線． AC?∴ 平面 11BBDD ． 又平面 11AACC 過 AC ． ∴ 平面 11AACC? 平面 11BBDD ． （ Ⅲ ）解： 1 1 1( 1 0 2) ( 1 1 2) ( 0 1 2)A A B B CC? ? ? ? ? ? ?， ， ， ， ， ， ， ，． 設 1 1 1()x y z? ， ，n 為平面 11AABB 的法向量， 1 1 120AA x z? ? ? ?n ， 1 1 1 120B B x y z? ? ? ? ?
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