20xx屆高三數(shù)學第二輪復習(空間位置關系與證明)(已修改)
2025-09-04 11:24 本頁面
【正文】 1 空間位置關系與證明 ★ ★★ 高考要考什么 一． 線與線的位置關系 :平行、相交、異面； 線與面的位置關系 :平行、相交、線在面內(nèi)； 面與面的位置關系 :平行、相交； 二． 轉(zhuǎn)化思想 ： ? ? ? ? ? ? ?線 線 平 行 線 面 平 行 面 面 平 行 , 線 線 線 面 面 面 ； ★★★ 高考將考什么 【 范例 1 】 （ 07 天津） 如圖，在四棱錐 P ABCD? 中， PA? 底面 ABCD ，60AB AD AC C D AB C? ? ? ?， ， 176。， PA AB BC??， E 是 PC 的中點． （ Ⅰ ）證明 CD AE? ； （ Ⅱ ）證明 PD? 平面 ABE ； （ Ⅲ ）求二面角 A PD C??的大?。? （ Ⅰ ）證明：在四棱錐 P ABCD? 中， 因 PA? 底面 ABCD ， CD? 平面 ABCD ，故 PA CD? ． AC C D PA AC A??，∵ ， CD?∴ 平面 PAC ． 而 AE? 平面 PAC ， CD AE?∴ ． （ Ⅱ ）證明：由 PA AB BC??， 60ABC??176。 ，可得 AC PA? ． E∵ 是 PC 的中點， AE PC?∴ ． 由（ Ⅰ ）知， AE CD? ，且 PC CD C? ，所以 AE? 平面 PCD ． 而 PD? 平面 PCD ， AE PD?∴ ． PA?∵ 底面 ABCD PD， 在底面 ABCD 內(nèi)的射影是 AD ， AB AD? ， AB PD?∴ ． 又 AB AE A?∵ ，綜上得 PD? 平面 ABE ． （ Ⅲ ）解法一：過點 A 作 AM PD? ，垂足為 M ，連結(jié) EM ．則（ Ⅱ ）知， AE? 平面 PCD ，AM 在平面 PCD 內(nèi)的射影是 EM ，則 EM PD? ． 因此 AME? 是二面角 A PD C??的平面角． 由已知，得 30CAD??176。 ．設 AC a? ， 可得 2 3 2 1 23 3 2P A a A D a P D a A E a? ? ? ?， ， ，． 在 ADPRt△ 中， AM PD?∵ ， A M P D P A A D?∴ ， 則232737213aaP A A DA M aPDa? ? ?． 在 AEMRt△ 中， 14s in 4AEA M E AM??． 解法二：由題設 PA? 底面 ABCD ， PA? 平面 PAD ，則平面 PAD? 平面 ACD ，交線為 AD ． A B C D P E A B C D P E M 2 過點 C 作 CF AD? ，垂足為 F ，故 CF? 平面 PAD ．過點 F 作 FM PD? ，垂足為 M ，連結(jié) CM ，故 CM PD? ．因此 CMP? 是二面角 A PD C??的平面角． 由已知，可得 30CAD??176。 ，設 AC a? ， 可得 2 3 2 1 1 33 3 2 6P A a A D a P D a C F a F D a? ? ? ? ?， ， ， ，． FM D PA D∵ △ ∽ △ ， FM FDPA PD?∴ ． 于是，37614213aaF D P AF M aPDa? ? ?． 在 CMFRt△ 中，12ta n 7714aCFCM F FMa? ? ?． 所以二面角 A PD C??的大小是 arctan 7 ． 所以二面角 A PD C??的大小是 14arcsin4． 變式： 如圖，在五面體 ABCD
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