20xx屆二輪復(fù)習(xí)--------函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問題--學(xué)案(全國通用)-資料下載頁
2025-04-03 02:17本頁面
【正文】 知，當(dāng)a∈[－1，1]時(shí)，函數(shù)y＝f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).[技法指導(dǎo)——遷移搭橋]函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題一般以函數(shù)為載體，以導(dǎo)數(shù)為工具，重點(diǎn)考查函數(shù)的一些性質(zhì)，如含參函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值的探求與討論，復(fù)雜函數(shù)零點(diǎn)的討論，函數(shù)不等式中參數(shù)范圍的討論，恒成立和能成立問題的討論等，一般是先轉(zhuǎn)化(變形)，再求導(dǎo)，分解出基本函數(shù)，分類討論研究其性質(zhì)，再根據(jù)題意解決問題. [典例] 已知函數(shù)f(x)＝elnx－ax(a∈R).(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a＝e時(shí)，證明：xf(x)－ex＋2ex≤0.[快審題]求什么想什么討論函數(shù)的單調(diào)性，想到利用導(dǎo)數(shù)判斷.證明不等式，想到對(duì)所證不等式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化.給什么用什么已知函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)解題.差什么找什么證不等式時(shí)，對(duì)不等式變形轉(zhuǎn)化后還不能直接判斷兩函數(shù)的關(guān)系，應(yīng)找出所構(gòu)造函數(shù)的最值.[穩(wěn)解題](1)f′(x)＝－a(x0)，①若a≤0，則f′(x)0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；②若a0，則當(dāng)0x時(shí)，f′(x)0，當(dāng)x時(shí)，f′(x)0，故f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)證明：法一：因?yàn)閤0，所以只需證f(x)≤－2e，當(dāng)a＝e時(shí)，由(1)知，f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(1)＝－e.記g(x)＝－2e(x0)，則g′(x)＝，所以當(dāng)0x1時(shí)，g′(x)0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x1時(shí)，g′(x)0，g(x)單調(diào)遞增，所以g(x)min＝g(1)＝－e.綜上，當(dāng)x0時(shí)，f(x)≤g(x)，即f(x)≤－2e，即xf(x)－ex＋2ex≤0.法二：證xf(x)－ex＋2ex≤0，即證exlnx－ex2－ex＋2ex≤0，從而等價(jià)于lnx－x＋2≤.設(shè)函數(shù)g(x)＝lnx－x＋2，則g′(x)＝－1.所以當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，g′(x)0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)0，故g(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，從而g(x)在(0，＋∞)上的最大值為g(1)＝1.設(shè)函數(shù)h(x)＝，則h′(x)＝.所以當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，h′(x)0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h′(x)0，故h(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，從而h(x)在(0，＋∞)上的最小值為h(1)＝1.綜上，當(dāng)x0時(shí)，g(x)≤h(x)，即xf(x)－ex＋2ex≤0.[題后悟道] 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題的關(guān)鍵(1)會(huì)求函數(shù)的極值點(diǎn)，先利用方程f′(x)＝0的根，將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)開區(qū)間，再列成表格，最后依表格內(nèi)容即可寫出函數(shù)的極值；(2)證明不等式，常構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)法判斷新構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，從而可證明原不等式成立；(3)不等式恒成立問題除了用分離參數(shù)法，還可以從分類討論和判斷函數(shù)的單調(diào)性入手，去求參數(shù)的取值范圍.[針對(duì)訓(xùn)練](x)＝xlnx，g(x)＝，直線l：y＝(k－3)x－k＋2.(1)若曲線y＝f(x)在x＝e處的切線與直線l平行，求實(shí)數(shù)k的值；(2)若至少存在一個(gè)x0∈[1，e]使f(x0)g(x0)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：(1)由已知得，f′(x)＝lnx＋1，且y＝f(x)在x＝e處的切線與直線l平行，所以f′(e)＝lne＋1＝2＝k－3，解得k＝5.(2)因?yàn)橹辽俅嬖谝粋€(gè)x0∈[1，e]使f(x0)g(x0)成立，所以至少存在一個(gè)x使xlnx成立，即至少存在一個(gè)x使a成立.令h(x)＝，當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，h′(x)＝≥0恒成立，因此h(x)＝在[1，e]上單調(diào)遞增.故當(dāng)x＝1時(shí)，h(x)min＝0，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0，＋∞).(x)＝x－－sinx－a.(1)證明：f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱；(2)討論f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).解：(1)證明：因?yàn)閒(π－x)＝(π－x)－－sin(π－x)－a＝(π－x)－－sinx－a＝x－－sinx－a＝f(x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱.(2)由(1)得，只需研究x＞時(shí)，f(x)的單調(diào)性即可.f′(x)＝1－－cosx.當(dāng)x≥π時(shí)，≥2，所以f′(x)≤－1－cosx≤0，所以f(x)單調(diào)遞減.當(dāng)＜x＜π時(shí)，令F(x)＝f′(x)，則F′(x)＝－＋sinx，所以F′(x)在上單調(diào)遞減，又F′＞0，F(xiàn)′(π)＜0，所以存在t∈，使得F′(t)＝0，當(dāng)＜x＜t時(shí)，F(xiàn)′(x)＞0，所以F(x)單調(diào)遞增，當(dāng)t＜x＜π時(shí)，F(xiàn)′(x)＜0，所以F(x)單調(diào)遞減，又F＝0，F(xiàn)(π)＝0，所以當(dāng)＜x＜π時(shí)，F(xiàn)(x)＞0，即f′(x)＞0，所以f(x)單調(diào)遞增.綜上，f(x)在上單調(diào)遞增，在(π，＋∞)上單調(diào)遞減.由對(duì)稱性可得，f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因?yàn)閒＝－1－a，f(0)＝f(π)＝－a，所以當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)無零點(diǎn)；當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，分別為x＝0和x＝π；當(dāng)－1＜a＜0時(shí)，f(x)有四個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)有三個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a＜－1時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題堪稱“龐然大物”，所以征服它需要一定的膽量和勇氣，可以參變量分離、可把復(fù)雜函數(shù)分離為基本函數(shù)、可把題目分解成幾個(gè)小題、也可把解題步驟分解為幾個(gè)小步，這樣，即使解答不完整，、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.
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