20xx屆二輪復(fù)習(xí)---不等式選講-學(xué)案理(全國(guó)通用)-資料下載頁(yè)
2025-04-03 00:19本頁(yè)面
【正文】 Ax＋C|]min＝|B－C|.2．形如f(x)＝|Ax＋B|－|Ax＋C|的最值．因?yàn)閨|Ax＋B|－|Ax＋C||≤|Ax＋B－Ax－C|＝|B－C|，當(dāng)且僅當(dāng)(Ax＋B)(Ax＋C)≥0時(shí)取“＝”，所以f(x)max＝[|Ax＋B|－|Ax＋C|]max＝|B－C|，f(x)min＝[|Ax＋B|－|Ax＋C|]min＝－|B－C|.3．形如f(x)＝|Ax＋B|＋|Cx＋D|或f(x)＝|Ax＋B|－|Cx＋D|的最值由絕對(duì)值的幾何意義作圖可知．1．(求最值問(wèn)題)設(shè)函數(shù)f(x)＝|x＋1|－|x|的最大值為m.(1)求m的值；(2)若正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a＋b＝m，求＋的最小值．[解](1)|x＋1|－|x|≤|x＋1－x|＝1，f(x)的最大值為1，∴m＝1.(2)由(1)可知，a＋b＝1，∴＋＝[(a＋1)＋(b＋1)]＝≥(2ab＋a2＋b2)＝(a＋b)2＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)取等號(hào)，∴＋的最小值為.2．(求參數(shù)問(wèn)題)設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x－1|＋|x＋a|.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)的圖象與直線(xiàn)y＝3圍成區(qū)域的面積；(2)若f(x)的最小值為1，求a的值．[解](1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|＝如圖，作出函數(shù)f(x)的圖象與直線(xiàn)y＝3，結(jié)合圖象可知所求面積為[1－(－1)]＝.(2)法一：(借助分段函數(shù)的性質(zhì))當(dāng)－a＞，即a＜－時(shí)，f(x)＝則f(x)min＝f＝－a－1＝1，所以a＝－.當(dāng)－a≤，即a≥－時(shí)，f(x)＝則f(x)min＝f＝3＋a－1＝1，所以a＝.綜上，a＝－或a＝.法二：(解恒成立問(wèn)題)∵f(x)＝|2x－1|＋|x＋a|＝＋＋|x＋a|≥＋≥，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取等號(hào)．令＝1，得a＝或a＝－.3．(與恒成立交匯)已知函數(shù)f(x)＝x|x－a|，a∈R.(1)當(dāng)f(1)＋f(－1)＞1時(shí)，求a的取值范圍；(2)若a＞0，x，y∈(－∞，a]，不等式f(x)≤＋|y－a|恒成立，求a的取值范圍．[解](1)f(1)＋f(－1)＝|1－a|－|1＋a|＞1，若a≤－1，則1－a＋1＋a＞1，得2＞1，即a≤－1；若－1＜a＜1，則1－a－(1＋a)＞1，得a＜－，即－1＜a＜－；若a≥1，則－(1－a)－(1＋a)＞1，得－2＞1，此時(shí)不等式無(wú)解．綜上所述，a的取值范圍是.(2)由題意知， 要使不等式恒成立，只需f(x)max≤min.當(dāng)x∈(－∞，a]時(shí)，f(x)＝－x2＋ax，f(x)max＝f＝.因?yàn)椋珅y－a|≥，當(dāng)且僅當(dāng)(y－a)≤0，即－≤y≤a時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)y∈(－∞，a]時(shí)，min＝＝a＋.于是≤a＋，解得－1≤a≤5.又a＞0，所以a的取值范圍是(0,5]．
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