20xx屆二輪復(fù)習(xí)--方法技巧導(dǎo)數(shù)破解疑難優(yōu)質(zhì)課不等式恒成立與有解問題-學(xué)案-資料下載頁
2025-04-03 02:20本頁面
【正文】 極值點；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)2有解，求a的取值范圍．【解】 (1)f′(x)＝－＋(x0)．易知當(dāng)＝時，f′(x)取得最大值，所以＝2.因為a0，所以a＝4，此時f′(x)＝－＋＝，當(dāng)x∈(0，)時，f′(x)0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(，＋∞)時，f′(x)0，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)的極小值點為x＝，無極大值點．(2)因為f′(x)＝(x0且a0)，所以當(dāng)x∈(0，)時，f′(x)0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(，＋∞)時，f′(x)0，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)≥f()＝a＋aln.因為關(guān)于x的不等式f(x)2有解，所以a＋aln2，因為a0，所以ln＋1－0.令g(x)＝lnx＋1－x(x0)，則g′(x)＝－1＝，易知當(dāng)x∈(0,1)時，g′(x)0，g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(1，＋∞)時，g′(x)0，g(x)單調(diào)遞減，所以g(x)≤g(1)＝0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時，“＝”成立，所以由ln＋1－0可得0且≠1，所以a的取值范圍是{a|a0且a≠2}．方法技巧第不等式有解問題易與不等式恒成立問題混淆，特別是在最值的轉(zhuǎn)化上容易“張冠李戴”.要注意：f(x)a(a)有解?f(x)maxa(f(x)mina)，而f(x)a(a)恒成立?f(x)mina(f(x)maxa).已知函數(shù)f(x)＝x2－(2a＋1)x＋alnx(a∈R)．(1)若f(x)在區(qū)間[1,2]上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)函數(shù)g(x)＝(1－a)x，若?x0∈[1，e]使得f(x0)≥g(x0)成立，求實數(shù)a的取值范圍．解：(1)f′(x)＝，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點x＝a落在區(qū)間(1,2)內(nèi)時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上就不是單調(diào)函數(shù)，即a?(1,2)，所以實數(shù)a的取值范圍是(－∞，1]∪[2，＋∞)．(2)由題意知，不等式f(x)≥g(x)在區(qū)間[1，e]上有解，即x2－2x＋a(lnx－x)≥0在區(qū)間[1，e]上有解．因為當(dāng)x∈[1，e]時，lnx≤1≤x(不同時取等號)，所以x－lnx0，所以a≤在區(qū)間[1，e]上有解．令h(x)＝，則h′(x)＝.因為x∈[1，e]，所以x＋22≥2lnx，所以h′(x)≥0，h(x)在[1，e]上單調(diào)遞增，所以x∈[1，e]時，h(x)max＝h(e)＝，所以a≤，所以實數(shù)a的取值范圍是.
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