高中數(shù)學北師大版選修2-2第3章2第2課時最大值、最小值問題課時作業(yè)(編輯修改稿)
2025-01-10 06:27 本頁面
【文章內容簡介】 學生們課外學習的一種趨勢，假設某網校的套題每日的銷售量 y(單 位：千套 )與銷售價格x(單位：元 /套 )滿足的關系式 y＝ mx－ 2＋ 4(x－ 6)2，其中 2x6， m為常數(shù)．已知銷售價格為4元 /套時，每日可售出套題 21 千套． (1)求 m的值； (2)假設網校的員工工資、辦公等所有開銷折合為每套題 2元 (只考慮銷售出的套數(shù) )，試確定銷售價格 x的值，使網校每日銷售套題所獲得的利潤最大． (保留 1位小數(shù) ) [解析 ] (1)因為 x＝ 4時， y＝ 21， 代入關系式 y＝ mx－ 2＋ 4(x－ 6)2，得 m2＋ 16＝ 21， 解得 m＝ 10. (2)由 (1)可知，套題每日的銷售量 y＝ 10x－ 2＋ 4(x－ 6)2， 所以每日銷售套題所獲得的利潤 f(x)＝ (x－ 2)[ 10x－ 2＋ 4(x－ 6)2]＝ 10＋ 4(x－ 6)2(x－ 2)＝ 4x3 － 56x2 ＋ 240x－ 278(2x6)， 從而 f ′( x)＝ 12x2－ 112x＋ 240＝ 4(3x－ 10)(x－ 6)(2x6)． 令 f ′( x)＝ 0，得 x＝ 103 ，且在 (0， 103 )上， f ′( x)0，函數(shù) f(x)單調遞增；在 (103 ，6)上， f ′( x)0，函數(shù) f(x)單調遞減， 所以 x＝ 103 是函數(shù) f(x)在 (2,6)內的極大值點，也是最大值點， 所以當 x＝ 103 ≈ 時，函數(shù) f(x)取得最大值． 故當銷售價格為 /套時，網校每日銷售套題所獲得的利潤最大 . 一、選擇題 1．給出下面四個命題： ① 函數(shù) y＝ x2－ 5x＋ 4， x∈ [－ 1,1]的最大值為 10，最小值為－94； ② 函數(shù) y＝ 2x2－ 4x＋ 1(2x4)的最大值為 17，最小值為 1； ③ 函數(shù) y＝ x3－ 12x(－ 3x3)的最大值為 16，最小值為－ 16； ④ 函數(shù) y＝ x3－ 12x(－ 2x2)無最大值，也無最小值．其中正確的命題有 ( ) A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個 [答案 ] B [解析 ] ③④ 正確． 2．已知不等式 kxx ≤ 1e對任意的正實數(shù) x恒成立，則實數(shù) k的取值范圍是 ( ) A． (0,1] B． (－ ∞ ， 1] C． [0,2] D． (0,2] [答案 ] A [解析 ] 令 y＝ kxx ，則 y′ ＝ 1－ kxx2 ，可以驗證當 y′ ＝ 0即 kx＝ e， x＝ ek時，ymax＝ lneek＝ ke， 又 y≤ 1e對于 x＞ 0恒成立 ∴ ke≤ 1e，得 k≤1 又 kx＞ 0， x＞ 0， ∴ k＞ 0， ∴ 0＜ k≤1. 3.(2021 江西文， 10)在同一直角坐標系中，函數(shù) y＝ ax2－ x＋ a2與 y＝ a2x3－ 2ax2＋ x＋ a(a∈ R)的圖像 不可能 ． ． ． 的是 ( ) [答案 ] B [解析 ] 若 a＝ 0時，兩函數(shù)分別為 y＝－ x和 y＝ x，選項 D此時合適， 若 a≠0 時，設 f1(x)＝ ax2－ x＋ a2，設 f2(x)＝ a2x3－ 2ax2＋ x＋ a f2′( x)＝ 3a2x2－ 4ax＋ 1＝ (3ax－ 1)(ax－ 1)， ① 若 a0，易知 f2(x)的極大值為 f(13a)＝ 427a＋ a，極小值為 f(1a)＝ a，而 f1(x)圖象此時開口向上，對稱軸為 x＝ 12a0 且
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