【文章內(nèi)容簡介】 素的投入水平并不是和產(chǎn)出成正比的，要素投入水平符合邊際遞減規(guī)律，邊際遞減規(guī)律 是指其他條件時，連續(xù)地增加生產(chǎn)要素的投入，所新增的產(chǎn)出或收益反而會逐漸減少。也就是說， 生產(chǎn)要素應(yīng)該投入的量有一個水準(zhǔn) ， 如果超過了這個水準(zhǔn) ，繼續(xù)增加要素的投入不僅不會帶來 總體 產(chǎn)量的增加，反應(yīng) 會使總體 產(chǎn)量下降。 所以 ， 要素的投入不是越多越好，和生產(chǎn)力相適應(yīng)才是正確的。 (3) 支持保障水平 。 政府對農(nóng)業(yè)發(fā)展的支 持和保障水平對農(nóng)業(yè)發(fā)展?fàn)顩r起著一定 的影響作用。近年來，政府從 種 糧免稅到 種 糧補貼 ，農(nóng)機補貼等一系列舉措使更多的農(nóng)民參與到來農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，促進著農(nóng)業(yè)發(fā)展。 (4) 可持續(xù)發(fā)展水平 。 這個因素要求我們合理使用資源 ， 使用資源要從長遠角度考慮 ， 保證資源的長期利用。所以我們應(yīng)該從社會 、 資源 、 經(jīng)濟、和環(huán)境保護 等方面全面考慮問題 。 這是一套系統(tǒng)理論 ， 保證我們既要著眼于現(xiàn)在的發(fā)展 ， 又不能提前透支后代人的資源 ， 兼顧環(huán)境的 保護 。 這個觀念是一種立足現(xiàn)在和未來的思想 。 如今人們越發(fā)感覺到資源的過度利用和環(huán)境的破壞帶來的災(zāi)難，環(huán)保和合理利用資源 的理念已經(jīng)植根于人們的 腦海 。可持續(xù) 發(fā)展水平 的高低， 很大程度上影響了農(nóng)業(yè)未來發(fā)展趨勢 [13]。 四個 因素之間均相互獨立，從不同的側(cè)面和角度影響和制約著 農(nóng)業(yè)發(fā)展?fàn)顩r的 水平。 相關(guān)統(tǒng)計學(xué) 基礎(chǔ)知識綜述 主成分分析基本知識 （ 1）主成分分析的基本思想 前面說到了如何從眾多指標(biāo)中找出最關(guān)鍵的幾個，主成分分析法就是一種非常常用和實用的方法。通過主成分分析法，可以從眾多指標(biāo)中提取出其中的“精華”，這些“精華”的幾個指標(biāo)能解釋所有指標(biāo)之間大部分的方差，也就代表這些“精華”包含了所有指標(biāo)中大部分的信息，并 且提取出的“精第 2 章 基礎(chǔ)知識 9 華”之間是沒有相關(guān)性的，從而做到了對指標(biāo)的簡化 。 所以這種對眾多指標(biāo)進行降維，提取出幾個能代表整體信息的、互相之間不相關(guān)的指標(biāo)的方法叫做主成分分析方法 。 一般來說，處理降維這種問題的做法是用所有的變量做一個線性組合，把這幾個線性組合作為一個新的變量，用新的數(shù)量較少的幾個變量去解釋所有方差，這樣，也能達到同樣的效果。但是這種方法存在一個問題，就是一組變量可以組成很多種新的變量組合。如果沒有其他限制條件，這種組合就會有很多，該如何從中選擇呢？現(xiàn)在假設(shè)所有指標(biāo)組成的第一個新變量 記為1F ， 我們盡可能的讓他 能代表原變量更多的信息 ， 這里所說的變量的“信息”也就是變量之間的方差 ， 所以 1Var( )F 越大 越是有利 ， 說明 1F 能代表更多的原變量的信息。也這是這個原因，所以在第一個線性組合的選取時，應(yīng)該從多個線性組合中挑選能代表最多信息的為 1F ，把 1F 叫做 第一主成分。 此時，這一個主成分可能不能代表原來 p 個變量的 方差 ， 就需要 再選取第二個線性組合 ，記為 2F ，使新的變量能更多的解釋更多的原來的方差。我們的目的是對原眾多變量進行降維，所以希望 2F 中不包含 1F 中能夠解釋的方差，避免發(fā)生冗余。也就是要求 12Cov( , )FF 盡可能的小 ， 此時把 2F 叫做 第二主成分，同樣用這種方法，就可以提取出 第三、四??第 p 個主成分。 （ 2）主成分分析的數(shù)學(xué)模型 假設(shè)有一個 p 個變量 pxxx ?, 21 的樣本資料 。觀測這些樣本的所有變量 ， n 個樣品的數(shù)據(jù)資料陣 為 ： ???????????????npnnppxxxxxxxxxX???????212222111211? ?pxxx ?, 21? （ 21） 其中： pjxxxxnjjjj ?? ,2,1,21???????????????? 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)論文 10 主成分分析 的做法就是將這 p 個變量 ，提取出其中的“精華”，變成一個新的數(shù)量少 ， 而且互不相關(guān)的新的變量 ，即 ???????????????????ppppppppppxaxaxaFxaxaxaFxaxaxaF????22112222121212121111 （ 22） 簡寫為： pjpjjj xxxF ??? ???? ?2211 （ 23） pj ,2,1 ?? 模型應(yīng)該滿足這些條件 ： ① ji FF, 互不相關(guān)（ ji? ， pji ,2,1, ?? ） ② 1F ， 2F ， 3F 的方差 依次減小 ③ .,2,1122221 pkaaa kpkk ?? ????? 所以 ， 這里把 1F 叫 第一主成分， 2F 叫做第二主成分，按照這個順序 ，會出現(xiàn)第 p 個主成分。 我們把系數(shù) ija 叫做主 成分系數(shù)。 這個模型用矩陣表示如下 ： AXF? ，其中 ???????????????pFFFF ?21 ???????????????pxxxX ?21 ??????????????????????????????pppppppaaaaaaaaaaaaA ????????21212222111211 A 稱為主成分系數(shù)矩陣。 第 2 章 基礎(chǔ)知識 11 主成分 這一 概念 產(chǎn)生于 19 世紀初 ， 是由 Karl parson 引用， 開始時 未了解決 非隨機變量 的 問題 。 然而在 1933 年的時候 Hotelling 將這一方法或者說概念應(yīng)用于隨機變量，從此以后主成分的應(yīng)用越來越廣泛，對處理數(shù)據(jù)，分析問 題起著越來越重要的作用，尤其在最近 20 年間 ， 計算機數(shù)學(xué)軟件的大量使用，使得主成分 分析 操作變得簡單，應(yīng)用也越來越多 。 主成分分析可以應(yīng)用于許多領(lǐng)域，其中一個領(lǐng)域就是系統(tǒng)評估 。系統(tǒng)評估 是檢查一個 理論 系統(tǒng)是否處于正常的 運營 狀態(tài)很重要的一個環(huán)節(jié)，然后系統(tǒng)評估需要很多的指標(biāo)， 有些 指標(biāo)組成的變量數(shù)目巨大，難以處理 。 假如對一家企業(yè)的經(jīng)濟效益進行系統(tǒng)評估，很多指標(biāo)都在影響著企業(yè)的經(jīng)濟效益，所以指標(biāo)變量也就很多 ， 這些指標(biāo)選取的標(biāo)準(zhǔn)就很難制定 。所以解決系統(tǒng)評估問題的重點在于找到一種方法，能夠?qū)⒋罅康闹笜?biāo)變量濃縮成很少或者說幾個 變量 ， 這樣，才能使系統(tǒng)評估有進行下去的先決條件 在經(jīng)濟研究領(lǐng)域，主成分依然有著很廣泛的應(yīng)用 ，除了 農(nóng)業(yè)發(fā)展經(jīng)濟效益的研究外 ， 區(qū)域經(jīng)濟發(fā)展水平的統(tǒng)計分析 ， 區(qū)域發(fā)展競爭力的評估 ， 人們的生活條件，生活質(zhì)量的測評 ， 等等很多問題都可以應(yīng)用主成分分析進行研究 。 另外，主成分分析除了用于系統(tǒng)評估研究領(lǐng)域外， 還在很多領(lǐng)域有極其重要的應(yīng)用。 本文主要是利用主成分分析的方法對影響農(nóng)業(yè)發(fā)展的兩組指標(biāo)進行一個濃縮，把多個變量變成少數(shù)變量。使新變量能體現(xiàn)原始數(shù)據(jù)包含的信息，從而簡化計算，使問題清晰明朗 。 這樣，將這些處理數(shù)據(jù)后得到的主 成分就可以作為數(shù)據(jù)包絡(luò)分析得決策和投入單元，從而減少因決策單元過多導(dǎo)致的計算誤差 [14]。 主成分幾何解釋 要在二維空間中闡述主成分分析的幾何意義，需要假設(shè) 有 n 個樣本，每個樣本 有二個 指標(biāo)變量。假設(shè)這 n 個樣本在二維坐標(biāo)軸中的分布是一個橢圓的形狀 ，如下圖所示： 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)論文 12 圖 21 主成分幾何解釋圖 現(xiàn)在 對 坐標(biāo)軸進行一個角度為 ? 的 正交旋轉(zhuǎn) ， 旋轉(zhuǎn) 的 數(shù)學(xué) 公式為 ??? ??? ?? ?? ?? c o s)s in( s inc o s212211jjjjjj xxy xxy nj ?2,1? 寫成矩陣形式為： ??????? nnyyyyyyY2222111211 ?? XUxxx xxxnn ??????????????? ??2222111211c o ss i n s i nc o s ???? ?? 其中 U 為坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換矩陣，它是正交矩陣，即有 IUUUU ???? ? ,1 ，即滿足 1c ossin 22 ?? ?? 。 這個橢圓在正交 旋轉(zhuǎn)變換 之 后， 就 有 了 下圖 所示 的新坐標(biāo)： 圖 22 主成分幾何解釋圖 第 2 章 基礎(chǔ)知識 13 新坐標(biāo) 21 yy? 有如下性質(zhì)： (1)n 個點的坐標(biāo) 1y 和 2y 的相關(guān)幾乎為零。 (2) n 個 點 在 坐標(biāo)平面上的方差 主要 都集中在 1y 軸上， 只有小部分的方差落在了 2y 軸上。 1y 和 2y 作為 由 原始的指標(biāo)變量 1x 和 2x 表示的新變量。 并且這 n 個點 的方差是集中在 1y 軸上的， 所以 原二維 坐標(biāo)軸上的點用 1y 軸上的 一個 新 的 一維 的 坐標(biāo)來表示 ， 這樣就能保持原始點大部分的信息 ， 所以把 1y 軸叫做 第一主成分， 2y 軸與 1y 軸正交，他們之間的方差是最小的 ， 所以把它叫做 第二主成分。 主成分的導(dǎo)出與計算步驟 由上面建立的模型，我們可以了解主成分分析 的內(nèi)在含義和原理。要運用主成分分析，首先要有原始數(shù)據(jù)，并且滿足主成分分析數(shù)學(xué)模型的三個基本要求 。 如何利用主成分分析去解決問題，關(guān)鍵在于得出主成分系數(shù)，進而表示出主成分模型。 由前面分析的主成分模型可知，主成分之間應(yīng)該沒有相關(guān)性，這是主成分模型的第一個條件。 對于主成分， AXF? 其協(xié)差陣應(yīng)為， AXAXAXAXAXV arFV ar ??????? )()()()( =????????????????p????21 將原始數(shù)據(jù)的 協(xié)方差陣 表示 為 V ， 再對原始數(shù)據(jù)做標(biāo)準(zhǔn)化處理，此時 協(xié)方差陣等于相關(guān)矩陣 ， 即有： XXRV ??? 我們通過分析主成分的數(shù)學(xué)模型中的條件 ③ 以及分析 正交矩陣的性燕山大學(xué)本科生畢業(yè)論文 14 質(zhì)， 可得到，在滿足 條件③ 的前提下， A 最好是一個 正交矩陣，即滿足 IAA ?? 于是，將原始數(shù)據(jù)的協(xié)方差代入主成分的協(xié)差陣公式得 到下面的計算結(jié)果： ??????? AARAXAXFV a r )( ??????? AARAAR 展開上式得 我們可以得到以下結(jié)果，這樣我們可以進行以后的分析找到了理論上的依據(jù)。 ???????????????????????????????????????????????????????????pppppppppppppppppppaaaaaaaaaaaaaaaaaarrrrrrrrr?????????????????????????21212221212111212221212111212222111211 對等號兩邊做一個展開的變換 ， 變換之后矩陣仍然是相等的 ， 我們可以從第一列中得出的方程 ： ? ???????????????????????0)(0)(0111221111212122112111121211111pppppppppararararararararar?????????? 這是一個齊次方程，為了能夠順利得出解， 他的系數(shù)矩陣的行列式必須是 0，即 第 2 章 基礎(chǔ)知識 15 0121212221112111???????pppppprrrrrrrrr??????? 01 ?? IR ? 此時，我們就求出了 相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值 1? ， 他對應(yīng)的特征向量為? ?paaaa 112111 , ?? 。 用同樣的方法對矩陣的 第二列、第三列等 進行展開、計算 ， 就能得到 i?的 方程 ： 0?? IR ? 的 p 個根， 特征方程 的特征根