20xx高中數(shù)學(xué)人教b版必修2圓錐曲線起始課青年教師參賽教學(xué)設(shè)計(jì)3(編輯修改稿)
2025-01-03 01:55 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 橢圓又有哪些應(yīng)用呢？讓我們帶著這些問題開始今天的新課 —— 圓錐曲線起始課（橢圓的概念）。 【設(shè)計(jì)意圖】 通過振奮人心的音樂和視頻剪輯了解圓錐曲線的航天應(yīng)用并同時(shí)引入新課。通過否定學(xué)生心中常見的對橢圓的錯(cuò)誤理解，引起認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，并引出本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容。 （二）橢圓的起源和發(fā)展 每一個(gè)幾何圖形都源于生活， 是從具體事物中抽象出來的， 橢圓也不例外。那最早人 們是從怎樣的具體事物中發(fā)現(xiàn)橢圓這一曲線的呢？ 讓我們回到公元前四世紀(jì)的古希臘。相傳最早是古希臘人通過削尖的圓木樁發(fā)現(xiàn)了一條像圓又不是圓的曲線，把它命名為橢圓。從立體幾何的角度，也就是“平面斜截圓柱所得的交線”。 后來又有人發(fā)現(xiàn)，平面斜截圓錐所得的交線也可能是橢圓。不僅如此，調(diào)整平面的傾斜程度還能得到其他曲線，因此人們把這些曲線命名為圓錐曲線。這也是為什么橢圓是圓錐曲線中的一類曲線。 人們又發(fā)現(xiàn)，研究這 些曲線的性質(zhì)，還有助于解決三大數(shù)學(xué)問題之一的“倍立方問題”。于是，許多古希臘的數(shù)學(xué)家都開始研究這一類曲線，其中還有大家所熟知的歐幾里得，可惜其中的許多著作都失傳了。迄今為止，修復(fù)得最完整的是阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線》，在該書中他在總結(jié)了前人成果的基礎(chǔ)上又增加了自己的創(chuàng)見，從“平面斜截圓錐”出發(fā)，運(yùn)用純幾何方法，證明了近 500個(gè)命題，這在當(dāng)時(shí)可以說堪稱奇跡，即便是之后的近 2021年內(nèi)也無人能超越。因此，阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線》也被長期視為數(shù)學(xué)經(jīng)典大作與歐幾里得的《原本》并駕齊驅(qū)。 直到 17世紀(jì)，世界經(jīng) 歷了翻天覆地的變化。在歐洲，航海、天文、軍事、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域飛速發(fā)展，古希臘人的純幾何方法已經(jīng)跟不上社會(huì)生產(chǎn)力的需要，人們亟需一種更高效的研究方法。于是，兩位偉人誕生了，他們是法國數(shù)學(xué)家笛卡爾和費(fèi)馬，也是解析幾何的創(chuàng)始人。解析幾何借助坐標(biāo)系，建立了代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，并通過代數(shù)的方法研究幾何圖形的性質(zhì)。例如，將點(diǎn)與坐標(biāo)一一對應(yīng)，曲線與代數(shù)方程一一對應(yīng)，通過研究代數(shù)方程獲得曲線的性質(zhì)。解析幾何將兩個(gè)看似毫不相干的學(xué)科之間建立了聯(lián)系，可以說是數(shù)學(xué)史上最偉大的突破。 這時(shí)，人們開始思考，能否通過解析幾何的方法研究橢 圓這些圓錐曲線呢？ 我們學(xué)習(xí)過曲線與方程，知道求曲線方程的步驟是：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡。其中列式的步驟需要根據(jù)曲線上的點(diǎn)所滿足的條件列出等式。例如：圓上的任意一點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心）的距離等于常數(shù)（半徑）。通過這一數(shù)量關(guān)系很容易列出圓上的動(dòng)點(diǎn)所滿足的等式。但 是，橢圓上的點(diǎn)滿足什么樣的條件？能否用數(shù)量關(guān)系表示橢圓上的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律呢？ 【設(shè)計(jì)意圖】 通過介紹圓錐曲線的歷史，使學(xué)生 了解圓錐曲線的最初定義和歷史成果，進(jìn)一步感受幾何圖形抽象于生活的特征，欣賞古希臘數(shù)學(xué)家的信念與智慧。通過對解析幾何的簡要介紹，使學(xué)生了解解 析幾何誕生的歷史必然性、解析幾何的核心思想以及它在數(shù)學(xué)學(xué)科中的地位和作用，了解從數(shù)量關(guān)系角度定義橢圓的時(shí)代背景和學(xué)科發(fā)展背景，并創(chuàng)設(shè)懸念引出橢圓的性質(zhì)的探索。 （三）橢圓性質(zhì)的探索 為了解答這個(gè)問題，人們重新翻閱了阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線》。發(fā)現(xiàn)書中近 500個(gè)命題中，真的有一條性質(zhì)十分簡潔地通過數(shù)量關(guān)系揭示了橢圓上的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。這條神秘的性質(zhì)究竟是什么呢？現(xiàn)在，就讓我們一起來發(fā)現(xiàn)這條性質(zhì)。 為了探索這條性質(zhì)，我們需要從立體圖形出發(fā)研究平面圖形，但大家還未學(xué)習(xí)過立體幾何，老師需要對大家做一個(gè)小測試，考考大家 的空間想象力！ （平面示意圖） （ 1）我們知道，兩條平行直線之間距離處處相等。那么，兩個(gè)平行平面之間的距離有什么性質(zhì)？ （ 2）我們知道，過圓外一點(diǎn)，引圓的兩條切線，切線長相等。那么，過球外一點(diǎn)，引球的兩條切線，切線長有什么數(shù)量關(guān)系？ （平面動(dòng)畫、實(shí)物教具） （ 1）在圓柱內(nèi)放置一個(gè)與圓柱底面等半徑的小球，小球與圓柱側(cè)面的公共點(diǎn)將形成什么曲線？ （ 2）同樣地，在下方也放置一個(gè)相同的小球，它與圓柱側(cè)面的公共點(diǎn)將也形成圓，我們把這兩個(gè)圓記作圓 1C 和圓 2C 。請問，圓 1C 與圓 2C 所在平面有怎樣的位置關(guān)系？ （ 3）如圖，在圓柱的最右側(cè)側(cè)面上取圓 1C 與圓 2C 之間的線段 PQ ，它與圓 1C 、 2C 所在平面有怎樣的位置關(guān)系？與兩小球又有怎樣的位置關(guān)系？ （ 4）如果將線段 PQ 保持鉛垂方向，沿著圓柱的側(cè)面轉(zhuǎn)動(dòng)， PQ 與圓 1C 、 2C 所在平面是否依然垂直？與兩小球是否依然相切？ （ 5）旋轉(zhuǎn)過程中，線段 PQ 的長度變不變？為什么？ C2C1PQ （實(shí)物教具） （ 1）這是平面斜截圓柱得到的交線，它是橢圓?，F(xiàn)在，在圓柱內(nèi)放置一個(gè)剛才那樣的小球，且與橢圓所在平面相切，請問共有幾個(gè)切點(diǎn)？ （ 2）我們記切點(diǎn)為 1F ，在橢圓上任取一點(diǎn) M ，連結(jié) 1MF ，請問 1MF 與上方小球有什么位置關(guān)系？ （ 3）同理，在橢圓所在平面另一側(cè)，再放置一個(gè)剛才那樣的小球，且與橢圓所在
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1