高中數(shù)學(xué)圓錐曲線教學(xué)研究(編輯修改稿)
2025-05-01 05:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 是在問題的最后一步有所不同. 更進(jìn)一步說，點(diǎn)P所在的曲線只要能用解析式描述，上述方法就可以運(yùn)用，不限制一定是圓錐曲線.常用的求軌跡方程的方法有：相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、幾何法、定義法……等等，因篇幅所限，這里再舉例2，：先設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)，找到動點(diǎn)滿足的幾何條件，在依據(jù)幾何條件，變換為代數(shù)條件，之后對這個(gè)代數(shù)條件做適當(dāng)?shù)幕喒ぷ?，得出所求軌跡方程.例2 已知直線上有一個(gè)動點(diǎn),過點(diǎn)作直線垂直于軸,動點(diǎn)在上,且滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn)),記點(diǎn)的軌跡為.求曲線的方程.解:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為.∵, 幾何條件∴. 代數(shù)條件 當(dāng)時(shí),得,化簡得. 代數(shù)方程 當(dāng)時(shí), 、三點(diǎn)共線，不符合題意，故.∴曲線的方程為. 軌跡方程 這個(gè)方法是求軌跡方程的最基礎(chǔ)的方法，讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上，較好的掌握這個(gè)方法.（六）向量與圓錐曲線向量知識的出現(xiàn)，，主要反映在一些計(jì)算的問題上.例1 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（Ⅰ）設(shè)所求的橢圓方程為：由題意：所求橢圓方程為：． （Ⅱ）若過點(diǎn)的斜率不存在，則．若過點(diǎn)的直線斜率為，即：時(shí)，直線的方程為由因?yàn)楹蜋E圓交于不同兩點(diǎn)所以，所以 ①設(shè)由已知，則 ②③將③代入②得：整理得：所以代入①式得，解得．所以或．綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為：．前面提到過學(xué)習(xí)圓錐曲線的問題，與解析幾何有一個(gè)共同的特點(diǎn)，用數(shù)量關(guān)系來描述圖形的性質(zhì).教師在講解問題的過程中，應(yīng)特別突出如何運(yùn)用向量的知識，. 將直線的方程代入圓錐曲線的方程，A、B、P三點(diǎn)的坐標(biāo)之間除了原有的一元二次方程的根系關(guān)系之外，還有由向量條件得到的特定的關(guān)系“”，只有充分利用好這個(gè)條件，才能使本題得到順利的解決.三、學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)的檢測（一）課程標(biāo)準(zhǔn)與高考對“解析幾何初步”內(nèi)容的要求以下摘自普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：圓錐曲線與方程（約16課時(shí)）（1）圓錐曲線①了解圓錐曲線的實(shí)際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.②經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線模型的過程，掌握它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡單性質(zhì).③了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道雙曲線的有關(guān)性質(zhì).④能用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關(guān)系）和實(shí)際問題.⑤通過圓錐曲線的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.（2）曲線與方程結(jié)合已學(xué)過的曲線及其方程的實(shí)例，了解曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想.：首先是進(jìn)一步體現(xiàn)解析幾何中用代數(shù)的方法研究幾何圖形性質(zhì)的基本思想；，也有對于圓錐曲線教委復(fù)雜問題的研究；第三是滲透和培養(yǎng)常見的數(shù)學(xué)思想以及方法，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的同時(shí)，學(xué)會分析問題、解決問題的方法，進(jìn)而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生能力的目的.（二）典型題目的檢測分析檢測的題目選擇的原則，既要強(qiáng)調(diào)注重基礎(chǔ)知識和基本方法，同時(shí)還要體現(xiàn)能力的要求. 例1雙曲線的離心率為______；若橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則______.例1就是以離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)這些基礎(chǔ)的知識為檢測目標(biāo). 在圓錐曲線的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生對于橢圓、雙曲線中出現(xiàn)的字母a、b、c容易混淆，特別是這幾個(gè)字母之間的關(guān)系. 針對學(xué)生出現(xiàn)的問題，教師可以結(jié)合圖形強(qiáng)調(diào)：在橢圓中a、b、c的關(guān)系是：，而在雙曲線中a、b、c的關(guān)系是：. 對于檢測題目的選擇要重視考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力. 既要檢測學(xué)生對圓錐曲線內(nèi)容的掌握情況，同時(shí)要檢測學(xué)生將以往所學(xué)知識與圓錐曲線知識綜合運(yùn)用的能力. 例2 已知橢圓的焦點(diǎn)為，在長軸上任取一點(diǎn)，過作垂直于的直線交橢圓于點(diǎn)，則使得的點(diǎn)的概率為（ ）A． B．C． D． 例2涉及了三個(gè)模塊的知識. 有橢圓的知識，也是本題的主干；有向量的知識，由向量的點(diǎn)積小于0可以得出∠是個(gè)鈍角；，在學(xué)習(xí)新的知識的同時(shí)，要適時(shí)的與之前學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)的整合.例3 已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，動點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）求以O(shè)M為直徑且被直線截得的弦長為2的圓的方程；（Ⅲ）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N，證明線段ON的長為定值，并求出這個(gè)定值.例3 ，用到了待定系數(shù)法等，難度不大，一般同學(xué)都可以順利解決；第2問就是解決一類圓錐曲線的問題，用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題，運(yùn)算量較大，如果使用平面幾何的知識，將直線被圓所截得弦長的問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題，體現(xiàn)了思維多樣性、靈活性的考查；第3問是進(jìn)一步研究曲線的性質(zhì)，證明線段ON的長為定值，并求出這個(gè)定值，既可以使用解析幾何的的知識解決，也可以運(yùn)用向量的知識來解決，體現(xiàn)了對綜合分析問題、解決問題能力的考查.詳解如下：（Ⅰ）由題意得① 因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以 ② 又 ③由①②③ 解得 ，. 所以橢圓方程為. （Ⅱ）以O(shè)M為直徑的圓的圓心為,半徑，方程為： 因?yàn)橐設(shè)M為直徑的圓被直線截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離 . 所以，解得.所求圓的方程為. （Ⅲ）方法一：過點(diǎn)F作OM的垂線，垂足設(shè)為K，由平幾知：.則直線OM：，直線FN： 由，得：.∴ .所以
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