高中數(shù)學(xué)圓錐曲線教學(xué)研究-在線瀏覽
2025-05-22 05:07本頁面
【正文】 ：． （Ⅱ）若過點的斜率不存在，則．若過點的直線斜率為，即：時，直線的方程為由因為和橢圓交于不同兩點所以，所以 ①設(shè)由已知，則 ②③將③代入②得：整理得：所以代入①式得，解得．所以或．綜上可得，實數(shù)的取值范圍為：．前面提到過學(xué)習(xí)圓錐曲線的問題，與解析幾何有一個共同的特點，用數(shù)量關(guān)系來描述圖形的性質(zhì).教師在講解問題的過程中，應(yīng)特別突出如何運用向量的知識，. 將直線的方程代入圓錐曲線的方程，A、B、P三點的坐標(biāo)之間除了原有的一元二次方程的根系關(guān)系之外，還有由向量條件得到的特定的關(guān)系“”，只有充分利用好這個條件，才能使本題得到順利的解決.三、學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)的檢測（一）課程標(biāo)準(zhǔn)與高考對“解析幾何初步”內(nèi)容的要求以下摘自普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：圓錐曲線與方程（約16課時）（1）圓錐曲線①了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.②經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線模型的過程，掌握它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡單性質(zhì).③了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道雙曲線的有關(guān)性質(zhì).④能用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關(guān)系）和實際問題.⑤通過圓錐曲線的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.（2）曲線與方程結(jié)合已學(xué)過的曲線及其方程的實例，了解曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想.：首先是進(jìn)一步體現(xiàn)解析幾何中用代數(shù)的方法研究幾何圖形性質(zhì)的基本思想；，也有對于圓錐曲線教委復(fù)雜問題的研究；第三是滲透和培養(yǎng)常見的數(shù)學(xué)思想以及方法，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的同時，學(xué)會分析問題、解決問題的方法，進(jìn)而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生能力的目的.（二）典型題目的檢測分析檢測的題目選擇的原則，既要強調(diào)注重基礎(chǔ)知識和基本方法，同時還要體現(xiàn)能力的要求. 例1雙曲線的離心率為______；若橢圓與雙曲線有相同的焦點，則______.例1就是以離心率、焦點坐標(biāo)這些基礎(chǔ)的知識為檢測目標(biāo). 在圓錐曲線的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生對于橢圓、雙曲線中出現(xiàn)的字母a、b、c容易混淆，特別是這幾個字母之間的關(guān)系. 針對學(xué)生出現(xiàn)的問題，教師可以結(jié)合圖形強調(diào)：在橢圓中a、b、c的關(guān)系是：，而在雙曲線中a、b、c的關(guān)系是：. 對于檢測題目的選擇要重視考查學(xué)生綜合運用知識的能力. 既要檢測學(xué)生對圓錐曲線內(nèi)容的掌握情況，同時要檢測學(xué)生將以往所學(xué)知識與圓錐曲線知識綜合運用的能力. 例2 已知橢圓的焦點為，在長軸上任取一點，過作垂直于的直線交橢圓于點，則使得的點的概率為（ ）A． B．C． D． 例2涉及了三個模塊的知識. 有橢圓的知識，也是本題的主干；有向量的知識，由向量的點積小于0可以得出∠是個鈍角；，在學(xué)習(xí)新的知識的同時，要適時的與之前學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行有機的整合.例3 已知橢圓經(jīng)過點，離心率為，動點.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）求以O(shè)M為直徑且被直線截得的弦長為2的圓的方程；（Ⅲ）設(shè)F是橢圓的右焦點，過點F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點N，證明線段ON的長為定值，并求出這個定值.例3 ，用到了待定系數(shù)法等，難度不大，一般同學(xué)都可以順利解決；第2問就是解決一類圓錐曲線的問題，用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題，運算量較大，如果使用平面幾何的知識，將直線被圓所截得弦長的問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題，體現(xiàn)了思維多樣性、靈活性的考查；第3問是進(jìn)一步研究曲線的性質(zhì)，證明線段ON的長為定值，并求出這個定值，既可以使用解析幾何的的知識解決，也可以運用向量的知識來解決，體現(xiàn)了對綜合分析問題、解決問題能力的考查.詳解如下：（Ⅰ）由題意得① 因為橢圓經(jīng)過點，所以 ② 又 ③由①②③ 解得 ，. 所以橢圓方程為. （Ⅱ）以O(shè)M為直徑的圓的圓心為,半徑，方程為： 因為以O(shè)M為直徑的圓被直線截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離 . 所以，解得.所求圓的方程為. （Ⅲ）方法一：過點F作OM的垂線，垂足設(shè)為K，由平幾知：.則直線OM：，直線FN： 由，得：.∴ .所以線段ON的長為定值. 方法二：設(shè)，則 ，.∵ ，∴ .∴ . 又∵ ，∴ ，∴ .∴ 為定值. 解析幾何的綜合題往往是集中檢測運算能力、空間想象能力、邏輯推理能力于一身，因此解析幾何的綜合題成為我們檢測的重要內(nèi)容之一.我們建議教師在設(shè)計解析幾何綜合題這類檢測題目的時候，要注意對學(xué)生運算能力、空間想象能力、邏輯推理能力的檢測. 在具體題目的設(shè)計時，還需要注意幾個問題.，對于基礎(chǔ)較弱的同學(xué)也能夠有入手之處；其次，雖然注重運算能力的考查，但是還要有邏輯思維能力的考查，、增加思維量的原則處理為宜；第三適當(dāng)?shù)呐c其他模塊的知識綜合，比如與函數(shù)的知識綜合，與向量的知識綜合，與不等式的知識綜合，與概率的知識綜合、與三角函數(shù)的知識綜合等等.以上是對高中“圓錐曲線”教學(xué)的一些想法和認(rèn)識，供各位老師參考，不妥之處，敬請批評指正.互動對話【參與人員】金寶錚：北京師范大學(xué)二附中程 敏：北京師范大學(xué)二附中趙瑞娟：北京師范大學(xué)二附中【互動話題】1．如何突破“解析幾何綜合題”這個難點高中數(shù)學(xué)“圓錐曲線”教學(xué)中，橢圓、雙曲線、拋物線主要是直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，學(xué)生往往感到困惑。如何在
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