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高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解題技巧總結(jié)-在線瀏覽

2025-05-22 05:08本頁面
  

【正文】 相轉(zhuǎn)化。第二定義中,r1=ed1 r2=ed2。.. . . ..解圓錐曲線問題的常用方法大全 定義法(1)橢圓有兩種定義。第一定義中,r1+r2=2a。 (2)雙曲線有兩種定義。 (3)拋物線只有一種定義,而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大,很多拋物線問題用定義解決更直接簡明。 解析幾何的運(yùn)算中,常設(shè)一些量而并不解解出這些量,利用這些量過渡使問題得以解決,這種方法稱為“設(shè)而不求法”。 (2)與直線l相交于A、B,設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0)則有(3)y2=2px(p0)與直線l相交于A、B設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0),則有2y0k=2p,即y0k=p.【典型例題】例(1)拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)P到點(diǎn)A(3,4)與到準(zhǔn)線的距離和最小,則點(diǎn) P的坐標(biāo)為______________ (2)拋物線C: y2=4x上一點(diǎn)Q到點(diǎn)B(4,1)與到焦點(diǎn)F的距離和最小,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 。(2)B在拋物線內(nèi),如圖,作QR⊥l交于R,則當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時(shí),距離和最小。例F是橢圓的右焦點(diǎn),A(1,1)為橢圓內(nèi)一定點(diǎn),P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)。解:(1)4 設(shè)另一焦點(diǎn)為,則(1,0)連A,P 當(dāng)P是A的延長線與橢圓的交點(diǎn)時(shí), 取得最小值為4。分析:作圖時(shí),要注意相切時(shí)的“圖形特征”:兩個(gè)圓心與切點(diǎn)這三點(diǎn)共線(如圖中的A、M、C共線,B、D、M共線)。解:如圖,∴∴ (*)∴點(diǎn)M的軌跡為橢圓,2a=8,a=4,c=1,b2=15軌跡方程為點(diǎn)評(píng):得到方程(*)后,應(yīng)直接利用橢圓的定義寫出方程,而無需再用距離公式列式求解,即列出,再移項(xiàng),平方,…相當(dāng)于將橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)了一遍,較繁瑣!例△ABC中,B(5,0),C(5,0),且sinCsinB=sinA,求點(diǎn)A的軌跡方程。解:sinCsinB=sinA 2RsinC2RsinB=分析:(1)可直接利用拋物線設(shè)點(diǎn),如設(shè)A(x1,x12),B(x2,X22),又設(shè)AB中點(diǎn)為M(x0y0)用弦長公式及中點(diǎn)公式得出y0關(guān)于x0的函數(shù)表達(dá)式,再用函數(shù)思想求出最短距離。解法一:設(shè)A(x1,x12),B(x2,x22),AB中點(diǎn)M(x0,y0)①②③則由①得(x1x2)2[1+(x1+x2)2]=9即[(x1+x2)24x1x2][1+(2x0)2]=9∴, ≥ 當(dāng)4x02+1=3 即 時(shí),此時(shí)法二:如圖,∴, 即,∴, 當(dāng)AB經(jīng)過焦點(diǎn)F時(shí)取得最小值。而解法二充分利用了拋物線的定義,巧妙地將中點(diǎn)M到x軸的距離轉(zhuǎn)化為它到準(zhǔn)線的距離,再利用梯形的中位線,轉(zhuǎn)化為A、B到準(zhǔn)線的距離和,結(jié)合定義與三角形中兩邊之和大于第三邊(當(dāng)三角形“壓扁”時(shí),兩邊之和等于第三邊)的屬性,簡捷地求解出結(jié)果的,但此解法中有缺點(diǎn),即沒有驗(yàn)證AB是否能經(jīng)過焦點(diǎn)F,而且點(diǎn)M的坐標(biāo)也不能直接得出。分析:此題初看很復(fù)雜,對(duì)f(m)的結(jié)構(gòu)不知如何運(yùn)算,因A、B來源于“不同系統(tǒng)”,A在準(zhǔn)線上,B在橢圓上,同樣C在橢圓上,D在準(zhǔn)線上,可見直接求解較繁,將這些線段“投影”到x軸上,立即可得防 此時(shí)問題已明朗化,只需用韋達(dá)定理即可。【同步練習(xí)】已知:F1,F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點(diǎn),過F1作直線交雙曲線左支于點(diǎn)A、B,若,△ABF2的周長為( )A、4a B、4a+m C、4a+2m D、4am 若點(diǎn)P到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離小1,則P點(diǎn)的軌跡方程是 ( )A、y2=16x B、y2=32x C、y2=16x D、y2=32x已知△ABC的三邊AB
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