高中數(shù)學(xué)北師大版必修5通項(xiàng)公式an的求法導(dǎo)學(xué)課件(編輯修改稿)
2024-12-24 08:09 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 2,3,4,…),a 2 ≠a 1 ,f(a n ) f(a n 1 )=k(a n a n 1 )(n=2,3,4,…), 其中 a 為常數(shù) ,k 為非零常數(shù) . (1) 構(gòu)造 b n =a n+1 a n (n ∈ N + ), 證明數(shù)列 {b n } 是等比數(shù)列 。 (2) 求數(shù)列 {a n } 的通項(xiàng)公式 . 【解析】 (1) 由 b 1 =a 2 a 1 ≠0 , 可得 :b 2 =a 3 a 2 = f ( a 2 ) f(a 1 )=k(a 2 a 1 ) ≠0 . 由題設(shè)條件 , 當(dāng) n ≥2時(shí) ,b nbn 1=a n + 1 a na n an 1=f ( an) f ( an 1)a n an 1=k ( an an 1)a n an 1=k, 故數(shù)列 {b n } 是公比為k 的等比數(shù)列 . (2) 由 (1) 知 b n =kn 1(a 2 a 1 ) ( n ∈ N + ), b 1 +b 2 + …+ b n 1 = ( a 2 a 1 )1 kn 11 k( n ≥2 ) , 而 b 1 +b 2 + …+ b n 1 =a 2 a 1 +a 3 a 2 + …+ a n a n 1 =a n a 1 ( n ≥2 ) , ∴ a n a 1 =(a 2 a 1 )1 k n 11 k( n ≥2 ) , 故 a n =a+[f(a) a]1 k n 11 k(n ∈ N + ). [ 問題 ] 上述解法正確嗎 ? [ 結(jié)論 ] 不正確 .(2) 中要分 k ≠1 和 k=1 進(jìn)行討論 , 以及對(duì) n 要分 n=1 和 n ≥2 進(jìn)行討論 . 于是 , 正確的解答為 : (1) 同錯(cuò)解部分 . (2) 由 (1) 知 ,b n =kn 1b 1 =kn 1(a 2 a 1 ) ( n ∈ N + ), 當(dāng) k ≠1 時(shí) ,b 1 +b 2 + …+ b n 1 = ( a 2 a 1 )1 kn 11 k( n ≥2 ) 。 當(dāng) k=1 時(shí) ,b 1 +b 2 + …+ b n 1 = ( n 1 ) ( a 2 a 1 ) ( n ≥2 ) . 而 b 1 +b 2 + …+ b n 1 = ( a 2 a 1 ) + ( a 3 a 2 ) + …+ ( a n a n 1 ) = a n a 1 ( n ≥2 ) , ∴ 當(dāng) k ≠1 時(shí) ,a n a 1 =(a 2 a 1 )1 kn 11 k( n ≥2 ) , 上式對(duì) n=1 也成立 , 所以數(shù)列 {a n } 的通項(xiàng)公式為 a n =a+[f(a) a]1 kn 11 k
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