20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學(xué)422最大值、最小值問題第1課時(shí)(編輯修改稿)
2024-12-22 23:22 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ( x ) 0 在 [1 ， e] 上恒成立，此時(shí) f ( x ) 在 [1 ， e] 上是減函數(shù) ． 則 f ( x ) m in ＝ f ( e ) ＝ 1 ＋2 ae＝ 3 ，解得 a ＝ e. [ 方法規(guī)律總結(jié) ] 已知函數(shù)最值求參數(shù)，可先求出函數(shù)在給定區(qū)間上的極值及函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，通過比較它們的大小，判斷出哪個(gè)是最大值，哪個(gè)是最小值，結(jié)合已知求出參數(shù)，進(jìn)而使問題得以解決 ． 若 f(x)＝ ax3－ 6ax2＋ b， x∈ [－ 1,2]上的最大值是 3，最小值是－ 29，求 a、 b的值． [答案 ] a＝ 2， b＝ 3或 a＝－ 2， b＝－ 29 [解析 ] f ′(x)＝ 3ax2－ 12ax＝ 3a(x2－ 4x)． 令 f ′(x)＝ 0，得 x＝ 0， x＝ 4. ∵ x∈ [－ 1,2]， ∴ x＝ 0. 由題意知 a≠0. ( 1 ) 若 a 0 ，則 f ′ ( x ) ， f ( x ) 隨 x 變化的情況如下表： x ( － 1 , 0 ) 0 ( 0 , 2 ) f ′ ( x ) ＋ 0 － f ( x ) 單調(diào)遞增 最大值 3 單調(diào)遞減 ∴ 當(dāng) x ＝ 0 時(shí)， f ( x ) 取最大值 f ( 0 ) ＝ b ＝ 3. 又 f ( 2 ) ＝ 8 a － 24 a ＋ 3 ＝－ 16 a ＋ 3 ， f ( － 1) ＝－ 7 a ＋ 3 f ( 2 ) ， ∴ 當(dāng) x ＝ 2 時(shí)， f ( x ) 取最小值， ∴ － 16 a ＋ 3 ＝－ 29 ， ∴ a ＝ 2. ( 2) 若 a 0 ，則 f ′ ( x ) ， f ( x ) 隨 x 變化的情況如下表： x ( － 1,0) 0 ( 0,2) f ′ ( x ) － 0 ＋ f ( x ) 單調(diào)遞減 最小值－ 29 單調(diào)遞增 ∴ 當(dāng) x ＝ 0 時(shí)， f ( x ) 取最小值 f ( 0) ＝ b ＝－ 29. 又 f ( 2) ＝－ 16 a － 29 ， f ( － 1) ＝－ 7 a － 29 f ( 2) ， ∴ 當(dāng) x ＝ 2 時(shí)， f ( x ) 取最大值，即－ 16 a － 29 ＝ 3 ， ∴ a ＝－ 2. 綜上：????? a ＝ 2 ，b ＝ 3或????? a ＝－ 2 ，b ＝－ 29. 綜合應(yīng)用問題 函數(shù) f ( x ) ＝ ax3－ 6 ax2＋ 3 bx ＋ b ，其圖像在 x ＝ 2處的切線方程為 3 x ＋ y － 11 ＝ 0. ( 1 ) 求函數(shù) f ( x ) 的解析式； ( 2 ) 若函數(shù) y ＝ f ( x ) 的圖像與 y ＝13f ′ ( x ) ＋ 5 x ＋ m 的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 ． [ 解析 ] ( 1 ) 由題意得 f ′ ( x ) ＝ 3 ax2－ 12 ax ＋ 3 b ， f ′ ( 2 ) ＝－ 3且 f ( 2 ) ＝ 5 ， ∴????? 12 a － 24 a ＋ 3 b ＝－ 38 a － 24 a ＋ 6 b ＋ b ＝ 5， 即????? 4 a － b ＝ 1－ 16 a ＋ 7 b ＝ 5， 解得 a ＝ 1 ， b ＝ 3 ， ∴ f ( x ) ＝ x3－ 6 x2＋ 9 x ＋ 3. ( 2 ) 由 f ( x ) ＝ x3－ 6 x2＋ 9 x ＋ 3 ， 可得 f ′ ( x ) ＝ 3 x2－ 12 x ＋ 9 ， 13f ′ ( x ) ＋ 5 x ＋ m ＝13(3 x2－ 12 x ＋ 9) ＋ 5 x ＋ m ＝ x2＋ x ＋ 3 ＋ m ， 則由題意可得 x3－ 6 x2＋ 9 x ＋ 3 ＝ x2＋ x ＋ 3 ＋ m 有三個(gè)不相等的實(shí)根，
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