【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】
( x ) 0 在 [1 , e] 上恒成立,此時(shí) f ( x ) 在 [1 , e] 上是減函數(shù) . 則 f ( x ) m in = f ( e ) = 1 +2 ae= 3 ,解得 a = e. [ 方法規(guī)律總結(jié) ] 已知函數(shù)最值求參數(shù),可先求出函數(shù)在給定區(qū)間上的極值及函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值,通過比較它們的大小,判斷出哪個(gè)是最大值,哪個(gè)是最小值,結(jié)合已知求出參數(shù),進(jìn)而使問題得以解決 . 若 f(x)= ax3- 6ax2+ b, x∈ [- 1,2]上的最大值是 3,最小值是- 29,求 a、 b的值. [答案 ] a= 2, b= 3或 a=- 2, b=- 29 [解析 ] f ′(x)= 3ax2- 12ax= 3a(x2- 4x). 令 f ′(x)= 0,得 x= 0, x= 4. ∵ x∈ [- 1,2], ∴ x= 0. 由題意知 a≠0. ( 1 ) 若 a 0 ,則 f ′ ( x ) , f ( x ) 隨 x 變化的情況如下表: x ( - 1 , 0 ) 0 ( 0 , 2 ) f ′ ( x ) + 0 - f ( x ) 單調(diào)遞增 最大值 3 單調(diào)遞減 ∴ 當(dāng) x = 0 時(shí), f ( x ) 取最大值 f ( 0 ) = b = 3. 又 f ( 2 ) = 8 a - 24 a + 3 =- 16 a + 3 , f ( - 1) =- 7 a + 3 f ( 2 ) , ∴ 當(dāng) x = 2 時(shí), f ( x ) 取最小值, ∴ - 16 a + 3 =- 29 , ∴ a = 2. ( 2) 若 a 0 ,則 f ′ ( x ) , f ( x ) 隨 x 變化的情況如下表: x ( - 1,0) 0 ( 0,2) f ′ ( x ) - 0 + f ( x ) 單調(diào)遞減 最小值- 29 單調(diào)遞增 ∴ 當(dāng) x = 0 時(shí), f ( x ) 取最小值 f ( 0) = b =- 29. 又 f ( 2) =- 16 a - 29 , f ( - 1) =- 7 a - 29 f ( 2) , ∴ 當(dāng) x = 2 時(shí), f ( x ) 取最大值,即- 16 a - 29 = 3 , ∴ a =- 2. 綜上:????? a = 2 ,b = 3或????? a =- 2 ,b =- 29. 綜合應(yīng)用問題 函數(shù) f ( x ) = ax3- 6 ax2+ 3 bx + b ,其圖像在 x = 2處的切線方程為 3 x + y - 11 = 0. ( 1 ) 求函數(shù) f ( x ) 的解析式; ( 2 ) 若函數(shù) y = f ( x ) 的圖像與 y =13f ′ ( x ) + 5 x + m 的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 . [ 解析 ] ( 1 ) 由題意得 f ′ ( x ) = 3 ax2- 12 ax + 3 b , f ′ ( 2 ) =- 3且 f ( 2 ) = 5 , ∴????? 12 a - 24 a + 3 b =- 38 a - 24 a + 6 b + b = 5, 即????? 4 a - b = 1- 16 a + 7 b = 5, 解得 a = 1 , b = 3 , ∴ f ( x ) = x3- 6 x2+ 9 x + 3. ( 2 ) 由 f ( x ) = x3- 6 x2+ 9 x + 3 , 可得 f ′ ( x ) = 3 x2- 12 x + 9 , 13f ′ ( x ) + 5 x + m =13(3 x2- 12 x + 9) + 5 x + m = x2+ x + 3 + m , 則由題意可得 x3- 6 x2+ 9 x + 3 = x2+ x + 3 + m 有三個(gè)不相等的實(shí)根,