20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學(xué)422最大值、最小值問題第1課時(更新版)
【正文】 ′ ? 2 ? ＝ 0 ，f ? 2 ? ＝ c － 16 ，即????? 12 a ＋ b ＝ 0 ，8 a ＋ 2 b ＋ c ＝ c － 1 6 . 化簡得????? 12 a ＋ b ＝ 0 ，4 a ＋ b ＝－ 8.解得????? a ＝ 1 ，b ＝－ 1 2 . ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 f ( x ) ＝ x3－ 12 x ＋ c ， f ′ ( x ) ＝ 3 x2－ 12 ， 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x1＝－ 2 ， x2＝ 2 ， 當(dāng) x ∈ ( － ∞ ，－ 2) 時， f ′ ( x ) 0 ， f ( x ) 在 ( － ∞ ，－ 2) 上為增函數(shù)， 當(dāng) x ∈ ( － 2 , 2 ) 時 ， f ′ ( x ) 0 ， f ( x ) 在 ( － 2 , 2 ) 上為減函數(shù)， 當(dāng) x ∈ (2 ，＋ ∞ ) 時 f ′ ( x ) 0 ， f ( x ) 在 (2 ，＋ ∞ ) 上為增函數(shù) ． 由此可知 f ( x ) 在 x1＝－ 2 處取得極大值 f ( － 2) ＝ 16 ＋ c ， f ( x )在 x2＝ 2 處取得極小值 f ( 2 ) ＝ c － 16 ，由題設(shè)條件知 16 ＋ c ＝ 28得 c ＝ 12 ， 此時 f ( － 3) ＝ 9 ＋ c ＝ 21 ， f ( 3 ) ＝－ 9 ＋ c ＝ 3 ， f ( 2 ) ＝ c － 16 ＝－4 ， 因此 f ( x ) 上 [ － 3 , 3 ] 的最小值為 f ( 2 ) ＝－ 4. 準(zhǔn)確把握條件 ( 2 0 1 3 北京理， 18) 設(shè) l 為曲線 C ： y ＝ln xx在點 ( 1 , 0 )處的切線 ． ( 1 ) 求 l 的方程； ( 2 ) 證明：除切點 ( 1 , 0 ) 之外，曲線 C 在直線 l 的下方 ． [ 錯解 ] ( 1 ) 設(shè) f ( x ) ＝ln xx，則 f ′ ( x ) ＝1 － ln xx2 . 所以 f ′ ( 1 ) ＝ 1. 所以 l 的方程為 y ＝ x － 1. ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 y ＝ x － 1 是曲線 f ( x ) ＝ln xx在點 ( 1 , 0 ) 處的切線，又當(dāng) x ＝ 2 時，有 f (2 ) ＝l n 221 ，故切線 l 上的對應(yīng)點 ( 2 , 1 ) ，在曲線C 上的點 (2 ，l n 22) 的上方， ∴ 曲線 C 上除切點 ( 1 , 0 ) 外都在曲線 l下方 ． [辨析 ] (1)正確； (2)中錯誤的認(rèn)為直線 l與曲線 C相切 ， 則C上所有點都在直線 l的同側(cè) ， 從而導(dǎo)致解答錯誤 ． 錯因可能是受直線與二次曲線相切的遷移影響 ， 沒有準(zhǔn)確地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義所致 ． [ 正解 ] ( 1 ) 設(shè) f ( x ) ＝ln xx，則 f ′ ( x ) ＝1 － ln xx2 . 所以 f ′ ( 1 ) ＝ 1. 所以 l 的方程為 y ＝ x － 1. ( 2 ) 令 g ( x ) ＝ x － 1 － f ( x ) ，則除切點之外，曲線 C 在直線 l 的下方等價于 g ( x ) 0 ( ? x 0 ， x ≠ 1) ． g ( x ) 滿足 g ( 1 ) ＝ 0 ，且 g ′ ( x ) ＝ 1 － f ′ ( x ) ＝x2－ 1 ＋ ln xx2 . 當(dāng) 0 x 1 時， x2－ 1 0 ， ln x 0 ，所以 g ′ ( x ) 0 ，故 g ( x ) 單調(diào)遞減； 當(dāng) x 1 時， x2－ 1 0 ， ln x 0 ，所以 g ′ ( x ) 0 ，故 g ( x ) 單調(diào)遞增 ． 所以， g ( x ) g ( 1 ) ＝ 0( ? x 0 ， x ≠ 1) ． 所以除切點之外，曲線 C 在直線 l 的下方 ．
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