【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 0sin96176。1.又tan69176。tan45176。=1所以cos96176。sin96176。tan69176。.例6 已知x∈[0，π]，比較cos(sinx)與sin(cosx)的大小.【略解】例7 已知，比較下列三數(shù)的大小：例8 求下列函數(shù)的最小正周期：（1）y=tanx－cotx。（2）y=sin(cosx)。（3）y=cos(sinx).【略解】（1）因?yàn)樗院瘮?shù)y=tanx－cotx的最小正周期T=.（2）因?yàn)閟in(cos(x+2π))=sin(cosx)，所以2π是函數(shù)y=sin(cosx)，若0T2π,則sin[cos(x+T)=sin(cosx)特別地，令x=0, sin(cosT)=sinl.而另一方面，0T2π,－1≤cosT1,由正弦函數(shù)的單調(diào)性和sin(cosT)sinl，與sin(cosT)=sinl矛盾，所以假設(shè)不成立.綜上，函數(shù)y=sin(cosx) 的最小正周期為2π.（3）因?yàn)閏os(sin(π+x))=cos(－sinx)=cos(sinx),所以π是函數(shù)y=cos(sinx)的周期，仿（2）可證函數(shù)y=cos(sinx)的最小正周期為π.【評(píng)述】（1）求函數(shù)最小正周期時(shí)，應(yīng)盡量將函數(shù)化簡(jiǎn).（2）對(duì)于由兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x)復(fù)合而成的函數(shù)f(g(x)),如果g(x)是周期函數(shù)，且其最小正周期為T(mén)1，那么，f(g(x))也是周期函數(shù)，且T1仍是f(g(x))的一個(gè)周期，但未必是它的最小正周期.例9 判斷下列函數(shù)的周期性，若是周期函數(shù)，試求出其最小正周期.（1）y=2sinx+3cos6x；（2）y=sinπx+cos2x .【略解】（1）y=2sinx和y=3cos6x的最小正周期分別是 ，的最小公倍數(shù)4π是y=2sinx+.（2）y=sinπx和cox2x的周期分別為2和π，因?yàn)椴皇怯欣頂?shù)，所以2和π沒(méi)有最小公倍數(shù)（此處倍數(shù)應(yīng)為整數(shù)倍），可以證明y=sinπx+cos2x 不是周期函數(shù).【證明】假設(shè)T是函數(shù)y=sinπx+sinπ(x+T)+cos2(x+T)=sinπx+cos2x.sinπ(x+T)－sinπx=cos2x－cos2(x+T),2sinTcos(πx+T)=2sinTsin(2x+T), (*)令x=0, 得2cosTsinT=2sin2T.即sinTcosT=sin2T ①而令x=－2, 化簡(jiǎn)得 sinTcosT=sinTsin(T+4).②令x=－2, 得sinTcosT=sinTsin(T－4) ③由②－③得 sinTsin(T+4)－sinTsin(T－4)=0,即2sinTcosTsin4=0, sin2T=0,T= ④但顯然④不適合①，矛盾，=sinπx+cos2x不是周期函數(shù).【評(píng)述】一般地，周期函數(shù)f(x)和g(x)的最小正周期分別為T(mén)1和T2，若T1/T2θ，則函數(shù)f(x)+g(x)不是周期函數(shù)，若T1/T2∈θ，則f(x)+g(x)是周期函數(shù).第五講 不等式的證明知識(shí)、方法、技能 不等式在數(shù)學(xué)中占有重要地位，由于其證明的困難性和方法的多樣性，而成為競(jìng)賽和高考的熱門(mén)題型. 證明不等式就是對(duì)不等式的左右兩邊或條件與結(jié)論進(jìn)行代數(shù)變形和化歸，而變形的依據(jù)是不等式的性質(zhì)，不等式的性分類(lèi)羅列如下： 不等式的性質(zhì)：這是不等式的定義，也是比較法的依據(jù). 對(duì)一個(gè)不等式進(jìn)行變形的性質(zhì)： （1）（對(duì)稱(chēng)性） （2）（加法保序性） （3） （4） 對(duì)兩個(gè)以上不等式進(jìn)行運(yùn)算的性質(zhì). （1）（傳遞性）.這是放縮法的依據(jù). （2） （3） （4） 含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)： （1） （2） （3）（三角不等式）. （4） 證明不等式的常用方法有：比較法、放縮法、變量代換法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法、常可“由因?qū)Ч被颉皥?zhí)果索因”.前者我們稱(chēng)之為綜合法；，分析問(wèn)題時(shí)，我們往往用分析法，而整理結(jié)果時(shí)多用綜合法，這兩者并非證明不等式的特有方法，具體地證明一個(gè)不等式時(shí)，可能交替使用多種方法.賽題精講 例1：求證：【略解】 【評(píng)述】（1）本題所證不等式為對(duì)稱(chēng)式（任意互換兩個(gè)字母，不等式不變），在因式分解或配方時(shí)，可將配方為，亦可利用，3式相加證明.（2）本題亦可連用兩次基本不等式獲證. 例2：，求證： 【思路分析】顯然不等式兩邊為正，且是指數(shù)式，故嘗試用商較法. 【略解】不等式關(guān)于對(duì)稱(chēng)，不妨，且，都大于等于1. 【評(píng)述】（1）證明對(duì)稱(chēng)不等式時(shí)，不妨假定個(gè)字母的大小順序，可方便解題. （2）本題可作如下推廣：若 （3）本題還可用其他方法得證。因，同理，另，4式相乘即得證. （4）設(shè)例3等價(jià)于類(lèi)似例4可證事實(shí)上，一般地有排序不等式（排序原理）： 設(shè)有兩個(gè)有序數(shù)組，則（順序和）（亂序和）（逆序和）.排序不等式應(yīng)用較為廣泛（其證明略），. 例3： 【思路分析】中間式子中每項(xiàng)均為兩個(gè)式子的和，將它們拆開(kāi)，再用排序不等式證明. 【略解】不妨設(shè)，則（亂序和）（逆序和），同理（亂序和）（逆序和）兩式相加再除以2，仿上可證第二個(gè)不等式. 例4：設(shè)，且各不相同，求證：【思路分析】不等式右邊各項(xiàng)；可理解為兩數(shù)之積，嘗試用排序不等式.【略解】設(shè)的重新排列，滿足，又，故從而，原式得證. 【評(píng)述】排序不等式應(yīng)用廣泛，例如可證我們熟悉的基本不等式， 例5：利用基本不等式證明 【思路分析】左邊三項(xiàng)直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對(duì)稱(chēng)性，可用輪換的方法. 【略解】；三式相加再除以2即得證. 【評(píng)述】（1）利用基本不等式時(shí)，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項(xiàng)、連用等技巧. 如，可在不等式兩邊同時(shí)加上 再如證時(shí)，可連續(xù)使用基本不等式. （2）基本不等式有各種變式 ，系數(shù)和為1. 例6：已知求證： 【思路分析】不等式左邊是、的4次式，右邊為常數(shù)，如何也轉(zhuǎn)化為、的4次式呢. 【略解】要證即證 【評(píng)述】（1）：右側(cè)的可理解為再如已知，求證：+，此處可以把0理解為，當(dāng)然本題另有簡(jiǎn)使證法. （2）基本不等式實(shí)際上是均值不等式的特例.（一般地，對(duì)于個(gè)正數(shù)調(diào)和平均幾何平均算術(shù)平均平方平均這四個(gè)平均值有以下關(guān)系：，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立. 例7：利用排序不等式證明. 【證明】令則，故可取，使得由排序不等式有： =（亂序和） （逆序和） =n， 【評(píng)述】對(duì)各數(shù)利用算術(shù)平均大于等于幾何平均即可得，. 例8：證明：對(duì)于任意正整數(shù)R，有 【思路分析】原不等式等價(jià)于，故可設(shè)法使其左邊轉(zhuǎn)化為n個(gè)數(shù)的幾何平均，而右邊為其算術(shù)平均. 【略證】 【評(píng)述】（1）利用均值不等式證明不等式的關(guān)鍵是通過(guò)分拆和轉(zhuǎn)化，（2）本題亦可通過(guò)逐項(xiàng)展開(kāi)并比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)的大小而獲證，但較繁. 例9：n為正整數(shù)，證明： 【證明】先證左邊不等式 （*）式成立，故原左邊不等式成立. 其次證右邊不等式 （**） （**）式恰符合均值不等式，故原不等式右邊不等號(hào)成立.第六講 不等式的應(yīng)用、參數(shù)取值范圍問(wèn)題知識(shí)、方法、技能I．排序不等式（又稱(chēng)排序原理） 設(shè)有兩個(gè)有序數(shù)組及 則（同序和） （亂序和） （逆序和） 其中是1，2，…，（對(duì)任一排列）成立. 證明：不妨設(shè)在亂序和S中時(shí)（若，則考慮），且在和S中含有項(xiàng)則 ①事實(shí)上，左－右= 由此可知，當(dāng)時(shí)，調(diào)換（）中與位置（其余不動(dòng)），所得新和調(diào)整好及后，接著再仿上調(diào)整與，又得如此至多經(jīng)次調(diào)整得順序和 ② 這就證得“順序和不小于亂序和”.顯然，當(dāng)或時(shí)②，若它們不全相等，則必存在及k，使這時(shí)①②中不等號(hào)成立. 類(lèi)似地可證“亂序和不小于逆序和”.II．應(yīng)用排序不等式可證明“平均不等式”： 設(shè)有n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)分別是 此外，還有調(diào)和平均數(shù)（在光學(xué)及電路分析中要用到 ， 和平方平均（在統(tǒng)計(jì)學(xué)及誤差分析中用到） 這四個(gè)平均值有以下關(guān)系. 其中等號(hào)成立的充分必要條件都是. 下面首先證明算術(shù)平均數(shù)一幾何平均數(shù)不等式： 記； 由于數(shù)組和數(shù)組中對(duì)應(yīng)的數(shù)互為倒數(shù)，由排序不等式得 （逆序和） ， 即 從而等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)成立，而這兩者都可得到. 下面證明對(duì)個(gè)正數(shù)應(yīng)用得 即（符號(hào)成立的條件是顯然的）.最后證明它等價(jià)于 而上式左邊=，對(duì)一切成立.III．應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)——幾何平均數(shù)不等式，可用來(lái)證明下述重要不等式. 柯西（Cavchy）不等式：設(shè)、…，是任意實(shí)數(shù)，則 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)為常數(shù)，時(shí)成立. 證明：不妨設(shè)不全為0，也不全為0（因?yàn)榛蛉珵?時(shí)，不等式顯然成立）. 記A=，B=. 且令 則于是原不等式成為 其中等號(hào)成立的充要條件是從而原不等式成立，且等號(hào)成立的充要條件是IV．利用排序不等式還可證明下述重要不等式. 切比雪夫不等式：若， ， 則 證明：由題設(shè)和排序不等式，有=， ， …… 將上述n個(gè)不等式疊加后，兩邊同除以n2，即得欲證的不等式.賽題精講I．排序不等式的應(yīng)用 應(yīng)用排序不等式可以簡(jiǎn)捷地證明一類(lèi)不等式，請(qǐng)看下述例題. 例1：對(duì)，比較的大小. 【思路分析】要應(yīng)用“排序不等式”，必須取兩組便于排序的數(shù)，這要從兩式的結(jié)構(gòu)上去分析. 【略解】 取兩組數(shù) 不管的大小順序如何，故 . 【評(píng)述】 找出適當(dāng)?shù)膬山M數(shù)是解此類(lèi)題目的關(guān)鍵. 例2：，求證 【思路分析】 應(yīng)先將、三個(gè)不失一般性地規(guī)定為 【略解】由于不等式關(guān)于、對(duì)稱(chēng)，可設(shè) 于是. 由排序不等式，得（亂序和）.及 以上兩個(gè)同向不等式相加再除以2， ，仿上可證第二個(gè)不等式，請(qǐng)讀者自己完成. 【評(píng)述】應(yīng)用排序不等式的技巧在于構(gòu)造兩個(gè)數(shù)組，再給出適當(dāng)?shù)臄?shù)組. 例3：在△ABC中，試證： 【思路分析】 可構(gòu)造△ABC的邊和角的序列，應(yīng)用排序不等式來(lái)證明之. 【詳解】 不妨設(shè)，于是由排序不等式，得 相加，得， 得 ① 又由有 得 ② 由①、②得原不等式成立. 【評(píng)述】此題后半部分應(yīng)用了不等式的性質(zhì)來(lái)證明. 例4：設(shè)是互不相同的自然數(shù)，試證 【思路分析】 應(yīng)先構(gòu)造兩個(gè)由小到大的排序. 【略解】將按由小到大的順序排成其中是1，2，…，n的一個(gè)排列，則于是由排序不等式，得 例5：設(shè)是正數(shù)的一個(gè)排列，求證 【思路分析】 應(yīng)注意到 【略證】不妨設(shè)，因?yàn)槎即笥?. 所以有， 又的任意一個(gè)排列，于是得到 【評(píng)述】 此題比較簡(jiǎn)單，但頗具啟發(fā)意義，讀者應(yīng)耐心體會(huì). 例6：設(shè)正數(shù)的乘積，試證： 【略解】設(shè)，這里都是正數(shù)，則原需證明的不等式化為， 故得 【評(píng)述】 ：設(shè)正數(shù)、的乘積證明 證明：設(shè)，且所需證明的不等式可化為 ，現(xiàn)不妨設(shè)，則 ，據(jù)排序不等式 得 及 兩式相加并化簡(jiǎn)可得 例7：設(shè)實(shí)數(shù)是的一個(gè)置換，證明： 【略解】 顯然所需證不等式等價(jià)于這由排序不等式可直接得到. 【評(píng)述】 應(yīng)用此例的證法可立證下題： 設(shè)是兩兩互異的正整數(shù)（，證明對(duì)任意正整數(shù)，均有 證明：設(shè)是的一個(gè)排列，使，則從條件知對(duì)每個(gè)，于是由排序不等式可知II．柯西不等式的應(yīng)用 應(yīng)用柯西不等式，往往能十分簡(jiǎn)捷地證明某些不等式. 例8：設(shè)，求證： 【思路分析】 注意到式子中的倒數(shù)關(guān)系，考慮應(yīng)用柯西不等式來(lái)證之. 【評(píng)述】注意到式子中的倒數(shù)關(guān)系，考慮應(yīng)用柯西不等式來(lái)證之. 【詳解】 ∵，故由柯西不等式，得 ， ∴ 【評(píng)述】這是一道高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題，還可用均值不等式、數(shù)學(xué)歸納法、比較法及分離系數(shù)法和構(gòu)造函數(shù)法等來(lái)證之.