【文章內容簡介】 式解決（Ⅱ）[解析] （Ⅰ）觀察圖象，當時是直線，故；當時，圖象過所以，即，所以（Ⅰ），所以至少需要經過小時【名師指引】分段函數的每一段一般都是由基本初等函數組成的，解決辦法是分段處理。題型2：由分段函數的解析式畫出它的圖象例6] (2006上海)設函數，在區(qū)間上畫出函數的圖像。[思路點撥]需將來絕對值符號打開，即先解，然后依分界點將函數分段表示，再畫出圖象。[解析] ,如右上圖.【名師指引】分段函數的解決辦法是分段處理，要注意分段函數的表示方法，它是用聯立符號將函數在定義域的各個部分的表達式依次表示出來，同時附上自變量的各取值范圍。[新題導練]9．（09年潮州金山中學）已知函數，則 [解析] 2；由已知得到10．（06山東改編）設則不等式的解集為 [解析] ；當時，由得，得當時，由得，得備選例題1： (2005江西)已知函數（a，b為常數）且方程f(x)－x+12=0有兩個實根為x1=3, x2=4.（1）求函數f(x)的解析式；（2）設k1，解關于x的不等式；[解析]（1）將得（2）不等式即為即①當②當③.備選例題2：（06重慶）已知定義域為R的函數滿足 （I）若，求。又若，求。 （II）設有且僅有一個實數，使得，求函數的解析表達式 ★搶分頻道基礎鞏固訓練：1．（09年廣州高三年級第一學期中段考）函數的定義域、值域分別是（ ）O52625圖2A.,；B. C.,；D.[解析] C；由圖象可以看出，應選擇C2．（09年惠州第一次調研考）某工廠從2000年開始，近八年以來生產某種產品的情況是：前四年年產量的增長速度越來越慢，后四年年產量的增長速度保持不變，則該廠這種產品的產量與時間的函數圖像可能是（ ）48yot48yot48yot48yot[解析] B；前四年年產量的增長速度越來越慢，知圖象的斜率隨x的變大而變小，后四年年產量的增長速度保持不變，知圖象的斜率不變，∴選B．3．（2004湖南改編）設函數若,則關于的方程的解的個數為 [解析] 3；由,可得，從而方程等價于或，解得到或，從而得方程的解的個數為34．（05江蘇）已知為常數，若，則= [解析] 2；因為，所以又，所以，解得或，所以5．對記，函數的最小值是（ ）A.；B. ；C.；D.[解析] C；作出和的圖象即可得到函數的最小值是6．（中山市09屆高三統(tǒng)測）已知函數 其中， 。作出函數的圖象；[解析] 函數圖象如下：說明：圖象過、點；在區(qū)間上的圖象為上凸的曲線段；在區(qū)間上的圖象為直線段綜合提高訓練：7．（09年惠州第二次調研考）如圖，動點在正方體的對角線上．過點作垂直于平面的直線，與正方體表面相交于．設，則函數的圖象大致是（ ）ABCDMNPA1B1C1D1yxA．OyxB．OyxC．OyxD．O[解析] B；過點作垂直于平面的直線，當點運動時，線與正方體表面相交于兩點形成的軌跡為平行四邊形，可以看出與的變化趨勢是先遞增再遞減，并且在的中點值時取最大8．（06重慶）如圖所示，單位圓中的長為，與弦AB所圍成的弓形面積的2倍，則函數的圖像是（ ）[解析] D；如圖所示，單位圓中的長為，與弦AB所圍成的弓形面積的2倍，當的長小于半圓時，函數的值增加的越來越快，當的長大于半圓時，函數的值增加的越來越慢，所以函數的圖像是D. 9．（06福建）已知是二次函數，不等式的解集是且在區(qū)間上的最大值是12。 （I）求的解析式； （II）是否存在實數使得方程在區(qū)間內有且只有兩個不等的實數根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。[解析]（I）是二次函數，且的解集是可設在區(qū)間上的最大值是，由已知，得（II）方程等價于方程設則當時，是減函數；當時，是增函數。方程在區(qū)間內分別有惟一實數根，而在區(qū)間內沒有實數根，所以存在惟一的自然數使得方程在區(qū)間內有且只有兩個不同的實數根。第4講 函數的單調性與最值★知識梳理函數的單調性定義：設函數的定義域為，區(qū)間 如果對于區(qū)間內的任意兩個值，當時，都有，那么就說在區(qū)間上是單調增函數，稱為的單調增區(qū)間如果對于區(qū)間內的任意兩個值，當時，都有，那么就說在區(qū)間上是單調減函數，稱為的單調減區(qū)間如果用導數的語言來，那就是：設函數，如果在某區(qū)間上，那么為區(qū)間上的增函數；如果在某區(qū)間上，那么為區(qū)間上的減函數；1． 函數的最大（?。┲翟O函數的定義域為如果存在定值，使得對于任意，有恒成立，那么稱為的最大值；如果存在定值，使得對于任意，有恒成立，那么稱為的最小值。★重、難點突破重點：掌握求函數的單調性與最值的方法難點：函數單調性的理解，尤其用導數來研究函數的單調性與最值重難點：（1） 函數的單調性只能在函數的定義域內來討論,所以求函數的單調區(qū)間,必須先求函數的定義域；（2）函數單調性定義中的，有三個特征：一是任意性；二是大小，即；三是同屬于一個單調區(qū)間，三者缺一不可；（3）若用導數工具研究函數的單調性，則在某區(qū)間上（）僅是為區(qū)間上的增函數（減函數）的充分不必要條件。（4）關于函數的單調性的證明，如果用定義證明在某區(qū)間上的單調性，那么就要用嚴格的四個步驟，即①取值；②作差；③判號；④下結論。但是要注意，不能用區(qū)間上的兩個特殊值來代替。而要證明在某區(qū)間上不是單調遞增的，只要舉出反例就可以了，即只要找到區(qū)間上兩個特殊的，若，有即可。如果用導數證明在某區(qū)間上遞增或遞減，那么就證明在某區(qū)間上或。（5）函數的單調性是對某個區(qū)間而言的，所以受到區(qū)間的限制，如函數分別在和內都是單調遞減的，但是不能說它在整個定義域即內是單調遞減的，只能說函數的單調遞減區(qū)間為和（6）一些單調性的判斷規(guī)則：①若與在定義域內都是增函數（減函數），那么在其公共定義域內是增函數（減函數）。②復合函數的單調性規(guī)則是“異減同增”2．函數的最值的求法（1）若函數是二次函數或可化為二次函數型的函數，常用配方法。（2）利用函數的單調性求最值：先判斷函數在給定區(qū)間上的單調性，然后利用函數的單調性求最值。（3）基本不等式法：當函數是分式形式且分子分母不同次時常用此法（但有注意等號是否取得）。（4）導數法：當函數比較復雜時，一般采用此法（5）數形結合法：畫出函數圖象，找出坐標的范圍或分析條件的幾何意義，在圖上找其變化范圍?！餆狳c考點題型探析考點1 函數的單調性題型1：討論函數的單調性 [例1] (2008廣東)設,函數.試討論函數的單調性.[解題思路]分段函數要分段處理，由于每一段都是基本初等函數的復合函數，所以應該用導數來研究。[解析]: 因為,所以. (1)當x1時，1x0， ①當時，在上恒成立，故F(x)在區(qū)間上單調遞增； ②當時，令，解得， 且當時，；當時， 故F(x)在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增；(2)當x1時， x10， ①當時，在上恒成立，故F(x)在區(qū)間上單調遞減； ②當時，令，解得，且當時，；當時，故F(x)在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增；綜上得，①當k=0時，F(x)在區(qū)間上單調遞增，F(x)在區(qū)間上單調遞減；②當k0時，F(x)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增；③當時，F(x)在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減.【名師指引】求函數的單調區(qū)間或研究函數的單調性是高考的一個熱點，分段落函數用注意分段處理.題型2：研究抽象函數的單調性[例2] 定義在R上的函數，當x＞0時，且對任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）f（b）.（1）求證：f（0）=1；（2）求證：對任意的x∈R，恒有f（x）＞0；（3）求證：f（x）是R上的增函數；（4）若f（x）f（2x－x2）＞1，求x的取值范圍.[解題思路]抽象函數問題要充分利用“恒成立”進行“賦值”，從關鍵等式和不等式的特點入手。[解析]（1）證明：令a=b=0，則f（0）=f 2（0）.又f（0）≠0，∴f（0）=1.（2）證明：當x＜0時，－x＞0，∴f（0）=f（x）f（－x）=1.∴f（－x）=＞≥0時f（x）≥1＞0，∴x∈R時，恒有f（x）＞0.（3）證明：設x1＜x2，則x2－x1＞0.∴f（x2）=f（x2－x1+x1）=f（x2－x1）f（x1）.∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1.又f（x1）＞0，∴f（x2－x1）f（x1）＞f（x1）.∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）是R上的增函數.（4）解：由f（x）f（2x－x2）＞1，f（0）=1得f（3x－x2）＞f（0）.又f（x）是R上的增函數，∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.【名師指引】解本題的關鍵是靈活應用題目條件，尤其是（3）中“f（x2）=f［（x2－x1）+x1］”是證明單調性的關鍵，這里體現了向條件化歸的策略.[新題導練]1．（珠海北大希望之星實驗學校09屆高三）函數的單調遞減區(qū)間是（ ）A．。 B．。 C．。 D． [解析] C；由得，又由知函數在上是減函數，根據復合函數的單調性知函數的單調遞減區(qū)間是2．（東皖高級中學09屆高三月考）函數的單調增區(qū)間為（ ）A．；B．；C．；D．[解析] D；由得或，又函數在上是減函數，在上是減函數，所以函數的單調增區(qū)間為3. (2008全國Ⅰ卷)已知函數，．（Ⅰ）討論函數的單調區(qū)間；（Ⅱ）設函數在區(qū)間內是減函數，求的取值范圍．[解析] （1）；（2）（1）求導：當時，，在上遞增當，求得兩根為即在遞增，遞減，遞增（2），且解得：考點2 函數的值域（最值）的求法題型1：求分式函數的最值[例3] （2000年上海）已知函數當時，求函數的最小值； [解題思路]當時，這是典型的“對鉤函數”，欲求其最小值，可以考慮均值不等式或導數；[解析]當時。在區(qū)間上為增函數。在區(qū)間上的最小值為?！久麕熤敢繉τ诤瘮等?，則優(yōu)先考慮用均值不等式求最小值，但要注意等號是否成立，否則會得到而認為其最小值為，但實際上，要取得等號，必須使得，這時所以，用均值不等式來求最值時，必須注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不等式恒成立問題常轉化為求函數的最值。本題考查求函數的最小值的三種通法：利用均值不等式，利用函數單調性，二次函數的配方法，考查不等式恒成立問題以及轉化化歸思想；題型2：利用函數的最值求參數的取值范圍[例4] （2000年上海）已知函數若對任意恒成立,試求實數的取值范圍。[解題思路] 欲求參數的取值范圍，應從恒成立的具體情況開始。[解析]在區(qū)間上恒成立；