【正文】 p≥3，m、n∈N*)仍為等比數(shù)列；③設(shè){an}是等比數(shù)列，則{λan}（λ是常數(shù)）、{}（m∈Z*）仍成等比數(shù)列；④設(shè){an}與{bn}是等比數(shù)列，則{an, 60176。sinC，把B=60176。－d, 60176。sin(60176。q2=q2,所以q=,于是有 解此方程組，得d=,a11=.對于任意的1≤k≤n,有【評述】數(shù)列求和應(yīng)先研究通項，通項=anbn，其中{an}成等差為九列，{bn}為等比數(shù)列，數(shù)列{}的求和用錯項相減去.例6 將正奇數(shù)集合{1，3，5，…}從小到大按第n組有(2n－1)奇數(shù)進(jìn)行分組：{1}, {3,5,7} , {9, 11, 13, 15, 17}, … （第1組）（第2組）（第3組）問1991位于第幾組中？（1991年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）【思路分析】思路需要寫出第n組的第1個數(shù)和最后一個數(shù)，1991介于其中，而第n組中最后一個數(shù)是第（1+3+…+2n－1）=n2個奇數(shù)為2n2－1.【解】因為1+3+5+…+(2n－1)=n2所以前n組共含有奇數(shù)n2個，第n組最后一個數(shù)即第n2個奇數(shù)為2n2－1,第n組第一個數(shù)即第n－1組最后一個數(shù)后面的奇數(shù)為[2(n－1)2－1]+2=2(n－1)2+，有不等式2(n－1)2+1≤1991≤2n2－1.解得(n－1)2≤995且n2≥996，從而n≤32且n≥32，故n=32，即1991位于第32組中.【評述】應(yīng)用待定的方法，假定位于第n組中然后確定n即可.例7 設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是前n項和，證明（1995年全國高考題）【思路分析】要證原結(jié)論成立，只需證SnSn+2成立，用等比數(shù)列前n項和公式表示或建立Sn、Sn+Sn+2的關(guān)系，用比較法證之.【證法1】設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)知a10, q0.（1）當(dāng)q=1時，Sn=na1，從而 SnSn+2－=na1(n+2)a1－(n+1)2=－0.（2）當(dāng)q≠1時， 由①、②知根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得【證法2】設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)知a10, q0.因為Sn+1+=a1+qSn, Sn+2=a1+qSn+1, 所以SnSn+2－=Sn(a1+qSn+1)－(a1+qSn)Sn+1=a1(Sn－Sn+1) =－a1(Sn+1－Sn) =－a1an+10.即（以下同證法1）.【評述】明確需要證，建立Sn、Sn+Sn+2之間的關(guān)系較為簡單.第十講 二項式定理與多項式知識、方法、技能Ⅰ．二項式定理1．二項工定理2．二項展開式的通項 它是展開式的第r+1項.3．二項式系數(shù) 4．二項式系數(shù)的性質(zhì)（1）（2）（3）若n是偶數(shù)，有，即中間一項的二項式系數(shù)最大. 若n是奇數(shù)，有，即中項二項的二項式系數(shù)相等且最大.（4）（5）（6）（7）（8） 以上組合恒等式（是指組合數(shù)滿足的恒等式）是證明一些較復(fù)雜的組合恒等式的基本工具.（7）和（8）的證明將在后面給出.5．證明組合恒等式的方法常用的有（1）公式法，利用上述基本組合恒等式進(jìn)行證明.（2）利用二項式定理，通過賦值法或構(gòu)造法用二項式定理于解題中.（3）利用數(shù)學(xué)歸納法.（4）構(gòu)造組合問題模型，將證明方法劃歸為組合應(yīng)用問題的解決方法.賽題精講例1：求的展開式中的常數(shù)項.【解】由二項式定理得 ①其中第項為 ②在的展開式中，設(shè)第k+1項為常數(shù)項，記為則 ③由③得r－2k=0，即r=2k，r為偶數(shù)，再根據(jù)①、②知所求常數(shù)項為【評述】求某一項時用二項展開式的通項.例2：求的展開式里x5的系數(shù).【解】因為 所以的展開式里x5的系數(shù)為 【評述】本題也可將化為用例1的作法可求得.例3：已知數(shù)列滿足 求證：對于任何自然數(shù)n，是x的一次多項式或零次多項式. （1986年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）【思路分析】由是等差數(shù)列，則從而可將表示成的表達(dá)式，再化簡即可.【解】因為 所以數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d有 從而由二項定理，知又因為從而 所以當(dāng)?shù)囊淮味囗検?，?dāng)零次多項式.例4：已知a，b均為正整數(shù)，且求證：對一切，An均為整數(shù).【思路分析】由聯(lián)想到復(fù)數(shù)棣莫佛定理，復(fù)數(shù)需要，然后分析An與復(fù)數(shù)的關(guān)系.【證明】因為顯然的虛部，由于 所以從而的虛部.因為a、b為整數(shù)，根據(jù)二項式定理，的虛部當(dāng)然也為整數(shù)，所以對一切，An為整數(shù).【評述】把An為與復(fù)數(shù)聯(lián)系在一起是本題的關(guān)鍵.例5：已知為整數(shù)，P為素數(shù)，求證：【證明】由于為整數(shù)，可從分子中約去r！，又因為P為素數(shù)，且，所以分子中的P不會紅去，因此有所以【評述】將展開就與有聯(lián)系，只要證明其余的數(shù)能被P整除是本題的關(guān)鍵.例6：若，求證：【思路分析】由已知 猜想，因此需要求出，即只需要證明為正整數(shù)即可.【證明】首先證明，對固定為r，設(shè). 下面求.因為 又因為 所以 故 【評述】猜想進(jìn)行運算是關(guān)鍵.例7：數(shù)列中，求的末位數(shù)字是多少？【思路分析】利用n取1，2，3，…猜想的末位數(shù)字.【解】當(dāng)n=1時，a1=3， ，因此的末位數(shù)字都是7，猜想， 現(xiàn)假設(shè)n=k時， 當(dāng)n=k+1時， 從而 于是 故的末位數(shù)字是7.【評述】猜想是關(guān)鍵.例8：求N=1988－1的所有形如為自然數(shù)）的因子d之和.【思路分析】尋求N中含2和3的最高冪次數(shù)，為此將19變?yōu)?0－1和18+1，然后用二項式定理展開.【解】因為N=1988－1=(20－1)88－1=(1－45)88－1=－ 其中M是整數(shù). 上式表明，N的素因數(shù)中2的最高次冪是5. 又因為N=(1+29)88－1 =32288+34]= .得cos2d=1, d=0176。+d代入sin2B=sinAsinC, 得sin(60176。sinC=，整理得[cos(A－C)－cos(A+C)=，即cos(A－C)=1,所以A=C，且∠B=60176。.【方法1】由余弦定理，得整理得(a－c)2=0因此a=c.故△ABC為正三角形.【方法2】設(shè)a、b、c三邊依次為a、aq、aq2，由余弦定理有cosB=,整理得q4－2q2+1=0,解得q=1, q=－1（舍去）所以a=b=c,故此△ABC為正三角形.【方法3】因為b2=ac, 由正弦定理：(2RsinB)2=2RsinA三個角可設(shè)為60176。④設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，則Sm, S2m－Sm, S3m－S2m, …, Spm－S(p－1)m(m1,p≥3，m、p∈N*)仍成等差數(shù)列；⑤設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，則是等差數(shù)列；⑥設(shè){an}是等差數(shù)列，則{λan+b}(λ,b是常數(shù))是等差數(shù)列；⑦設(shè){an}與{bn}是等差數(shù)列，則{λ1an+λ2bn}（λ1，λ2是常數(shù)）也是等差數(shù)列；⑧設(shè){an}與{bn}是等差數(shù)列，且bn∈N*，則{abn}也是等差數(shù)列（即等差數(shù)列中等距離分離出的子數(shù)列仍為等差數(shù)列）；⑨設(shè){an}是等差數(shù)列，則{}（c0, c≠1）是等比數(shù)列.2．等比數(shù)列（1）定義：（2）通項公式：an=a1qn－1.（3）前n項和公式：（4）等比中項：（5）任意兩項：an=amqn－m.（6）無窮遞縮等比數(shù)列各項和公式： S=（7）性質(zhì)： ①設(shè){an}是等比數(shù)列，如果m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，那么amsin89176。sin58176。=(sin1176。 ②sin1176。cos78176?！璼in89176。當(dāng)然有時也可以利用萬能公式“弦化切割”，將題目轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于的代數(shù)恒等式的證明問題.萬能公式相除相除相除積化和差和差化積相加減 要快捷地完成三角恒等式的證明，必須選擇恰當(dāng)?shù)娜枪? 為此，同學(xué)們要熟練掌握各公式及各公式的來龍去脈和變形形式. 上圖為三角公式脈絡(luò)圖，由圖可見兩角和差的三角函數(shù)的公式是所有三角公式的核心和基礎(chǔ). 此外，三角是代數(shù)與幾何聯(lián)系的“橋梁”，與復(fù)數(shù)也有緊密的聯(lián)系，因而許多三角問題往往可以從幾何或復(fù)數(shù)角度獲得巧妙的解法. 三角不等式首先是不等式，因此，要掌握證明不等式的常用方法：配方法、比較法、放縮法、基本不等式法、數(shù)學(xué)歸納法等. 其次，三角不等式又有自己的特點——含有三角式，因而三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性以及圖象特征等都是處理三角不等式的銳利武器. 三角形中有關(guān)問題也是數(shù)學(xué)競賽和高考的常見題型. 解決這類問題，要充分利用好三角形內(nèi)角和等于180176。（2）y=sin(cosx)。=1所以cos96176。（2）因為鈍角的余弦小于0，正弦大于0，所以cos96176。=sin43176。.【思路分析】 比較兩數(shù)大小的一種方法是將兩數(shù)看成同一函數(shù)的兩個函數(shù)值，然后利用函數(shù)單調(diào)性來比較；另一種方法是尋找某個中介量（如0，1）等.【略解】（1）cos313176。, cos313176。第一講 集合概念及集合上的運算知識、方法、技能高中一年級數(shù)學(xué)（上）（試驗本）課本中給出了集合的概念；一般地，符合某種條件（或具有某種性質(zhì)）的對象集中在一起就成為一個集合.在此基礎(chǔ)上，介紹了集合的元素的確定性、互異性、無限集，集合的列舉法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、補集、形成了以集合為背景的題目和用集合表示空間的線面及其關(guān)系，表面平面軌跡及其關(guān)系，表示充要條件，描述排列組合，用集合的性質(zhì)進(jìn)行組合計數(shù)等綜合型題目.賽題精講Ⅰ．集合中待定元素的確定充分利用集合中元素的性質(zhì)和集合之間的基本關(guān)系，.例1：求點集中元素的個數(shù).【思路分析】應(yīng)首先去對數(shù)將之化為代數(shù)方程來解之.【略解】由所設(shè)知由平均值不等式，有當(dāng)且僅當(dāng)（虛根舍去）時，等號成立.故所給點集僅有一個元素.【評述】此題解方程中，應(yīng)用了不等式取等號的充要條件，是一種重要解題方法，應(yīng)注意掌握之.例2：已知【思路分析】先進(jìn)一步確定集合A、B.【略解】又∴A=【評述】此題應(yīng)避免如下錯誤解法：聯(lián)立方程組 消去 因方程無實根，故.這里的錯因是將A、.例3：已知集合若是平面上正八邊形的頂點所構(gòu)成的集合，則a的值為 .【思路分析】可作圖，以數(shù)形結(jié)合法來解之.【略解】點集A是頂點為（a，0），（0，a），（－a，0），（0，－a）的正方形的四條邊構(gòu)成（如圖Ⅰ－1－1－1）.將，變形為所以，集合B是由四條直線構(gòu)成.欲使為正八邊形的頂點所構(gòu)成，只有這兩種情況.（1）當(dāng)時，由于正八形的邊長只能為2，顯然有故 .（2）當(dāng)時，設(shè)正八形邊長為l，則這時，綜上所述，a的值為圖Ⅰ－1－1－1如圖Ⅰ－1－1－1中【評述】上述兩題均為1987年全國高中聯(lián)賽試題，題目并不難，讀者應(yīng)從解題過程中體會此類題目的解法.Ⅱ．集合之間的基本關(guān)系充分應(yīng)用集合之間的基本關(guān)系（即子、交、并、補），.例4：設(shè)集合則在下列關(guān)系中，成立的是 （ ） A． B． C． D．【思路分析】應(yīng)注意數(shù)的特征，即【解法1】∵∴.故應(yīng)選C.【解法2】如果把A、B、C、D與角的集合相對應(yīng)，令結(jié)論仍然不變，顯然A′為終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合，B′為終邊在x軸上的角的集合，C′為終邊在y軸上的角的集合，D′為終邊在y軸上及在直線上的角的集合，故應(yīng)選（C）.【評述】解法1是直接法，解法2運用轉(zhuǎn)化思想把已知的四個集合的元素轉(zhuǎn)化為我們熟悉的的角的集合，研究角的終邊，思路清晰易懂，實屬巧思妙解.例5：設(shè)有集合（其中[x]表示不超過實數(shù)x之值的最大整數(shù)）.【思路分析】應(yīng)首先確定集合A與B.從而 ∴若 從而得出 于是 【評述】此題中集合B中元素x滿足“|x|3”時，會出現(xiàn)什么樣的結(jié)果，讀者試解之.例6：設(shè)，如果A為只含一個元素的集合，則A=B.【思路分析】應(yīng)從A為只含一個元素的集合入手，即從方程有重根來解之.【略解】設(shè)有重根，于是即 整理得 因均