【正文】 析問題時，我們往往用分析法，而整理結果時多用綜合法，這兩者并非證明不等式的特有方法，具體地證明一個不等式時，可能交替使用多種方法.賽題精講 例1：求證：【略解】 【評述】（1）本題所證不等式為對稱式（任意互換兩個字母，不等式不變），在因式分解或配方時，可將配方為，亦可利用，3式相加證明.（2）本題亦可連用兩次基本不等式獲證. 例2：，求證： 【思路分析】顯然不等式兩邊為正，且是指數(shù)式，故嘗試用商較法. 【略解】不等式關于對稱，不妨，且，都大于等于1. 【評述】（1）證明對稱不等式時，不妨假定個字母的大小順序，可方便解題. （2）本題可作如下推廣：若 （3）本題還可用其他方法得證。sin2176。an=ap－d)故此△ABC為正三角形.【方法4】將60176。)sin30176。 =cos6176。sin96176。；（2）cos96176。－47176。因，同理，另，4式相乘即得證. （4）設例3等價于類似例4可證事實上，一般地有排序不等式（排序原理）： 設有兩個有序數(shù)組，則（順序和）（亂序和）（逆序和）.排序不等式應用較為廣泛（其證明略），. 例3： 【思路分析】中間式子中每項均為兩個式子的和，將它們拆開，再用排序不等式證明. 【略解】不妨設，則（亂序和）（逆序和），同理（亂序和）（逆序和）兩式相加再除以2，仿上可證第二個不等式. 例4：設，且各不相同，求證：【思路分析】不等式右邊各項；可理解為兩數(shù)之積，嘗試用排序不等式.【略解】設的重新排列，滿足，又，故從而，原式得證. 【評述】排序不等式應用廣泛，例如可證我們熟悉的基本不等式， 例5：利用基本不等式證明 【思路分析】左邊三項直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對稱性，可用輪換的方法. 【略解】；三式相加再除以2即得證. 【評述】（1）利用基本不等式時，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項、連用等技巧. 如，可在不等式兩邊同時加上 再如證時，可連續(xù)使用基本不等式. （2）基本不等式有各種變式 ，系數(shù)和為1. 例6：已知求證： 【思路分析】不等式左邊是、的4次式，右邊為常數(shù)，如何也轉化為、的4次式呢. 【略解】要證即證 【評述】（1）：右側的可理解為再如已知，求證：+，此處可以把0理解為，當然本題另有簡使證法. （2）基本不等式實際上是均值不等式的特例.（一般地，對于個正數(shù)調和平均幾何平均算術平均平方平均這四個平均值有以下關系：，其中等號當且僅當時成立. 例7：利用排序不等式證明. 【證明】令則，故可取，使得由排序不等式有： =（亂序和） （逆序和） =n， 【評述】對各數(shù)利用算術平均大于等于幾何平均即可得，. 例8：證明：對于任意正整數(shù)R，有 【思路分析】原不等式等價于，故可設法使其左邊轉化為n個數(shù)的幾何平均，而右邊為其算術平均. 【略證】 【評述】（1）利用均值不等式證明不等式的關鍵是通過分拆和轉化，（2）本題亦可通過逐項展開并比較對應項的大小而獲證，但較繁. 例9：n為正整數(shù)，證明： 【證明】先證左邊不等式 （*）式成立，故原左邊不等式成立. 其次證右邊不等式 （**） （**）式恰符合均值不等式，故原不等式右邊不等號成立.第六講 不等式的應用、參數(shù)取值范圍問題知識、方法、技能I．排序不等式（又稱排序原理） 設有兩個有序數(shù)組及 則（同序和） （亂序和） （逆序和） 其中是1，2，…，（對任一排列）成立. 證明：不妨設在亂序和S中時（若，則考慮），且在和S中含有項則 ①事實上，左－右= 由此可知，當時，調換（）中與位置（其余不動），所得新和調整好及后，接著再仿上調整與，又得如此至多經次調整得順序和 ② 這就證得“順序和不小于亂序和”.顯然，當或時②，若它們不全相等，則必存在及k，使這時①②中不等號成立. 類似地可證“亂序和不小于逆序和”.II．應用排序不等式可證明“平均不等式”： 設有n個正數(shù)的算術平均數(shù)和幾何平均數(shù)分別是 此外，還有調和平均數(shù)（在光學及電路分析中要用到 ， 和平方平均（在統(tǒng)計學及誤差分析中用到） 這四個平均值有以下關系. 其中等號成立的充分必要條件都是. 下面首先證明算術平均數(shù)一幾何平均數(shù)不等式： 記； 由于數(shù)組和數(shù)組中對應的數(shù)互為倒數(shù)，由排序不等式得 （逆序和） ， 即 從而等號當且僅當或時成立，而這兩者都可得到. 下面證明對個正數(shù)應用得 即（符號成立的條件是顯然的）.最后證明它等價于 而上式左邊=，對一切成立.III．應用算術平均數(shù)——幾何平均數(shù)不等式，可用來證明下述重要不等式. 柯西（Cavchy）不等式：設、…，是任意實數(shù)，則 等號當且僅當為常數(shù)，時成立. 證明：不妨設不全為0，也不全為0（因為或全為0時，不等式顯然成立）. 記A=，B=. 且令 則于是原不等式成為 其中等號成立的充要條件是從而原不等式成立，且等號成立的充要條件是IV．利用排序不等式還可證明下述重要不等式. 切比雪夫不等式：若， ， 則 證明：由題設和排序不等式，有=， ， …… 將上述n個不等式疊加后，兩邊同除以n2，即得欲證的不等式.賽題精講I．排序不等式的應用 應用排序不等式可以簡捷地證明一類不等式，請看下述例題. 例1：對，比較的大小. 【思路分析】要應用“排序不等式”，必須取兩組便于排序的數(shù)，這要從兩式的結構上去分析. 【略解】 取兩組數(shù) 不管的大小順序如何，故 . 【評述】 找出適當?shù)膬山M數(shù)是解此類題目的關鍵. 例2：，求證 【思路分析】 應先將、三個不失一般性地規(guī)定為 【略解】由于不等式關于、對稱，可設 于是. 由排序不等式，得（亂序和）.及 以上兩個同向不等式相加再除以2， ，仿上可證第二個不等式，請讀者自己完成. 【評述】應用排序不等式的技巧在于構造兩個數(shù)組，再給出適當?shù)臄?shù)組. 例3：在△ABC中，試證： 【思路分析】 可構造△ABC的邊和角的序列，應用排序不等式來證明之. 【詳解】 不妨設，于是由排序不等式，得 相加，得， 得 ① 又由有 得 ② 由①、②得原不等式成立. 【評述】此題后半部分應用了不等式的性質來證明. 例4：設是互不相同的自然數(shù)，試證 【思路分析】 應先構造兩個由小到大的排序. 【略解】將按由小到大的順序排成其中是1，2，…，n的一個排列，則于是由排序不等式，得 例5：設是正數(shù)的一個排列，求證 【思路分析】 應注意到 【略證】不妨設，因為都大于0. 所以有， 又的任意一個排列，于是得到 【評述】 此題比較簡單，但頗具啟發(fā)意義，讀者應耐心體會. 例6：設正數(shù)的乘積，試證： 【略解】設，這里都是正數(shù)，則原需證明的不等式化為， 故得 【評述】 ：設正數(shù)、的乘積證明 證明：設，且所需證明的不等式可化為 ，現(xiàn)不妨設，則 ，據(jù)排序不等式 得 及 兩式相加并化簡可得 例7：設實數(shù)是的一個置換，證明： 【略解】 顯然所需證不等式等價于這由排序不等式可直接得到. 【評述】 應用此例的證法可立證下題： 設是兩兩互異的正整數(shù)（，證明對任意正整數(shù)，均有 證明：設是的一個排列，使，則從條件知對每個，于是由排序不等式可知II．柯西不等式的應用 應用柯西不等式，往往能十分簡捷地證明某些不等式. 例8：設，求證： 【思路分析】 注意到式子中的倒數(shù)關系，考慮應用柯西不等式來證之. 【評述】注意到式子中的倒數(shù)關系，考慮應用柯西不等式來證之. 【詳解】 ∵，故由柯西不等式，得 ， ∴ 【評述】這是一道高中數(shù)學聯(lián)賽題，還可用均值不等式、數(shù)學歸納法、比較法及分離系數(shù)法和構造函數(shù)法等來證之.第七講 三角恒等式和三角不等式知識、方法、技能 三角恒等變形，既要遵循代數(shù)式恒等變形的一般法則，又有三角所特有的規(guī)律. 三角恒等式包括絕對恒等式和條件恒等式兩類。sin3176。aq；②設Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，則Sm, S2m－Sm, S3m－S2m, …，Spm－S(p－1)m(m1, p≥3，m、n∈N*)仍為等比數(shù)列；③設{an}是等比數(shù)列，則{λan}（λ是常數(shù)）、{}（m∈Z*）仍成等比數(shù)列；④設{an}與{bn}是等比數(shù)列，則{ansin(60176。sinC=，整理得[cos(A－C)－cos(A+C)=，即cos(A－C)=1,所以A=C，且∠B=60176。sin89176。cos78176。=1所以cos96176。, cos313176。)=cos47176。證明三角恒等式時，首先要觀察已知與求證或所證恒等式等號兩邊三角式的繁簡程度，以決定恒等變形的方向；其次要觀察已知與求證或所證恒等式等號兩邊三角式的角、函數(shù)名稱、次數(shù)以及結構的差別與聯(lián)系，抓住其主要差異，選擇恰當?shù)墓綄ζ溥M行恒等變形，從而逐步消除差異，統(tǒng)一形式，完成證明.“和差化積”、“積化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我們常用的變形技巧?！璼in89176。bn}也是等比數(shù)列；⑤設{an}是等比數(shù)列，{bn}是等差數(shù)列，bn∈Z*，則{abn}是等比數(shù)列（即等比數(shù)列中等距離分離出的子數(shù)列仍為等比數(shù)列）；⑥設{an}是正項等比數(shù)列，則{logcan}(c0, c≠1)是等差數(shù)列.賽題精講例1 設數(shù)列{an}的前n項和Sn=2an－1(n=1, 2,…)，數(shù)列{bn}滿足b1=3, bk+1=bk+ak(k=1,2，…)，求數(shù)列{bn}的前n項之和.（1996年全國數(shù)學聯(lián)賽二試題1）【思路分析】欲求數(shù)列{bn}前n項和，需先求bn. 由ak=bk+1－bk, 知求ak即可，利用ak=Sk－Sk－1(k=2, 3, 4,…)可求出ak.【略解】由Sn=2an－1和a1=S1=2a1－1,得a1=1, 又an=Sn－Sn－1=2an－2an－1,即an=2an－1,因此{an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則有an=2n－1.由ak=bk+1－bk，取k=1,2,…,n－1得a1=b2－b1, a2=b3－b2, a3=b4－b3, …, an－1=bn－bn－1,將上面n－1個等式相加，得bn－b1=a1+a2+…+an. 即bn=b1+a1+a2+…+an=3+(1+2+22+…+2n－1)=2n－1+2,所以數(shù)列{bn}的前n項和為Sn′=（2+1）+（2+2）+（2+22）+…+（2+2n－1）=2n+2n－1.【評述】求數(shù)列的前n 項和，一般情況必須先研究通項，才可確定求和的方法.例2 求證：若三角形的三內角成等差數(shù)列，對應的三邊成等比數(shù)列，則此三角形必是正三角形.【思路分析】由△ABC的三個內角A、B、C成等差數(shù)列，知∠B=60176。+d)= ，即[cos(2d)－cos120176。代入得sinAsin31176。cos66176。tan45176。應注意找好每道題解題的出發(fā)點.例8 已知定義在R上的單調函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)且f(1)=2.（1）求證：f(x)為奇函數(shù)；（2）當t2時，不等式f(klog2t)+f(log2t－log22t－2)0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.【思路分析】由f(x)的定義域為R，從其特殊點，即x=y=0入手來解此題.【略解】（1）令x=y=0得f(0)=2f(0), ∴f(0)=0.再令y=－x, 得f(0)=f(x)+f(－x),∴f(－x)=－f(x), 即f(x)為奇函數(shù).（2）∵f(0)=0, f(