【正文】 1=bk+ak(k=1,2，…)，求數(shù)列{bn}的前n項之和.（1996年全國數(shù)學聯(lián)賽二試題1）【思路分析】欲求數(shù)列{bn}前n項和，需先求bn. 由ak=bk+1－bk, 知求ak即可，利用ak=Sk－Sk－1(k=2, 3, 4,…)可求出ak.【略解】由Sn=2an－1和a1=S1=2a1－1,得a1=1, 又an=Sn－Sn－1=2an－2an－1,即an=2an－1,因此{an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則有an=2n－1.由ak=bk+1－bk，取k=1,2,…,n－1得a1=b2－b1, a2=b3－b2, a3=b4－b3, …, an－1=bn－bn－1,將上面n－1個等式相加，得bn－b1=a1+a2+…+an. 即bn=b1+a1+a2+…+an=3+(1+2+22+…+2n－1)=2n－1+2,所以數(shù)列{bn}的前n項和為Sn′=（2+1）+（2+2）+（2+22）+…+（2+2n－1）=2n+2n－1.【評述】求數(shù)列的前n 項和，一般情況必須先研究通項，才可確定求和的方法.例2 求證：若三角形的三內角成等差數(shù)列，對應的三邊成等比數(shù)列，則此三角形必是正三角形.【思路分析】由△ABC的三個內角A、B、C成等差數(shù)列，知∠B=60176。，三個角可設為60176。－d, 60176。, 60176。+d，其中d為常數(shù)；又由對應的三邊a、b、c成等比數(shù)列，知b2=ac，或將三邊記為a、aq、aq2，其中q為正常數(shù)，由此知要證此三角形為正三角形只須證明d=0或q=1或a=b=c.【證】設△ABC的三個內角為A、B、C及其對邊a、b、c，依題意b2=ac, ∠B=60176。.【方法1】由余弦定理，得整理得(a－c)2=0因此a=c.故△ABC為正三角形.【方法2】設a、b、c三邊依次為a、aq、aq2，由余弦定理有cosB=,整理得q4－2q2+1=0,解得q=1, q=－1（舍去）所以a=b=c,故此△ABC為正三角形.【方法3】因為b2=ac, 由正弦定理：(2RsinB)2=2RsinA2RsinC（其中R是△ABC外接圓半徑）即sin2B=sinAsinC，把B=60176。代入得sinAsinC=，整理得[cos(A－C)－cos(A+C)=，即cos(A－C)=1,所以A=C，且∠B=60176。，故此△ABC為正三角形.【方法4】將60176。－d, 60176。, 60176。+d代入sin2B=sinAsinC, 得sin(60176。－d)sin(60176。+d)= ，即[cos(2d)－cos120176。]= .得cos2d=1, d=0176。,所以∠A=∠B=∠C，故△ABC為正三角形.【評述】方法2著眼于邊，方法4著眼于角.例3 各項都是正數(shù)的數(shù)列{an}中，若前n項的和Sn滿足2Sn=an+,求此數(shù)列的通項公式.【思路分析】 在Sn與an的混合型中，應整理成數(shù)列{Sn}的遞推式或數(shù)列{an}的遞推式，然后用遞推關系式先求出Sn，再求an，{Sn}的遞推式，利用an=Sn－Sn－1先求出Sn，再求an即可.【解】n≥2時，將an=Sn－Sn－1代入2Sn=an+,得2Sn=Sn－Sn－1+,整理得所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，即當n=1時，由2S1=a1+,得a1=1也滿足.故數(shù)列{an}的通項公式為.【評述】處理本例的思想方法，可用來求滿足Sn與an混合型中的通項公式.例4 設數(shù)列{an}的前n項和Sn與an的關系為Sn=－ban+1－，其中b是與n無關的常數(shù)，且b≠－1.（1）求an與an－1的關系式；（2）寫出用n與b表示an的表達式.【思路分析】利用Sn=an－an－1(n≥2)整理出數(shù)列{an}的遞推關系式求an.【解】（1）當n≥2時，an=Sn－Sn－1=－ban+1－,整理得兩邊同乘以2n，得2nan=2n－1an－1+,可知數(shù)列{2nan}是以2a=為首項，當b≠1，b≠－1時，由（*）式得(1+b)nan=b(1+b)n－1an－1+從而數(shù)列{－－1}就是一個等比數(shù)列，n取2，3，…，n得故數(shù)列{an}的通項公式為【評述】構造輔助數(shù)列是解由遞推關系式給出數(shù)列求通項的一個基本方法，本例構造了輔助數(shù)列{}、{－－1}，使數(shù)列{－cn－1}為等比數(shù)列，化未知為已知，從而使問題獲解.例5 n2(n≥4)個正數(shù)排成n行n列a11 a12 a13 a14…… a1na21 a22 a23 a24…… a2na31 a32 a33 a34…… a3na41 a42 a43 a44…… a4n… … … … …… …an1 an2 an3 an4…… ann其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有公比相等，已知a24=1,a42=，a43=,求a11+a22+a33+…+ann.（1990年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題）【思路分析】求和需要研究a11和akk，又每列成等比數(shù)列且公比相等，只需要研究a1k和q,又每行成等差數(shù)列，需要求得an和第一行的公差d，因而本題利用已知建立an、d和q之間關系，使問題獲解.【解】設第一行數(shù)列公差為d，=a42+a44,所以a44=2a43－a42=2－=.又因為a44=a24q2=q2,所以q=,于是有 解此方程組，得d=,a11=.對于任意的1≤k≤n,有【評述】數(shù)列求和應先研究通項，通項=anbn，其中{an}成等差為九列，{bn}為等比數(shù)列，數(shù)列{}的求和用錯項相減去.例6 將正奇數(shù)集合{1，3，5，…}從小到大按第n組有(2n－1)奇數(shù)進行分組：{1}, {3,5,7} , {9, 11, 13, 15, 17}, … （第1組）（第2組）（第3組）問1991位于第幾組中？（1991年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題）【思路分析】思路需要寫出第n組的第1個數(shù)和最后一個數(shù)，1991介于其中，而第n組中最后一個數(shù)是第（1+3+…+2n－1）=n2個奇數(shù)為2n2－1.【解】因為1+3+5+…+(2n－1)=n2所以前n組共含有奇數(shù)n2個，第n組最后一個數(shù)即第n2個奇數(shù)為2n2－1,第n組第一個數(shù)即第n－1組最后一個數(shù)后面的奇數(shù)為[2(n－1)2－1]+2=2(n－1)2+，有不等式2(n－1)2+1≤1991≤2n2－1.解得(n－1)2≤995且n2≥996，從而n≤32且n≥32，故n=32，即1991位于第32組中.【評述】應用待定的方法，假定位于第n組中然后確定n即可.例7 設{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是前n項和，證明（1995年全國高考題）【思路分析】要證原結論成立，只需證SnSn+2成立，用等比數(shù)列前n項和公式表示或建立Sn、Sn+Sn+2的關系，用比較法證之.【證法1】設{an}的公比為q,由題設知a10, q0.（1）當q=1時，Sn=na1，從而 SnSn+2－=na1(n+2)a1－(n+1)2=－0.（2）當q≠1時， 由①、②知根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調性，得【證法2】設{an}的公比為q，由題設知a10, q0.因為Sn+1+=a1+qSn, Sn+2=a1+qSn+1, 所以SnSn+2－=Sn(a1+qSn+1)－(a1+qSn)Sn+1=a1(Sn－Sn+1) =－a1(Sn+1－Sn) =－a1an+10.即（以下同證法1）.【評述】明確需要證，建立Sn、Sn+Sn+2之間的關系較為簡單.第十講 二項式定理與多項式知識、方法、技能Ⅰ．二項式定理1．二項工定理2．二項展開式的通項 它是展開式的第r+1項.3．二項式系數(shù) 4．二項式系數(shù)的性質（1）（2）（3）若n是偶數(shù)，有，即中間一項的二項式系數(shù)最大. 若n是奇數(shù)，有，即中項二項的二項式系數(shù)相等且最大.（4）（5）（6）（7）（8） 以上組合恒等式（是指組合數(shù)滿足的恒等式）是證明一些較復雜的組合恒等式的基本工具.（7）和（8）的證明將在后面給出.5．證明組合恒等式的方法常用的有（1）公式法，利用上述基本組合恒等式進行證明.（2）利用二項式定理，通過賦值法或構造法用二項式定理于解題中.（3）利用數(shù)學歸納法.（4）構造組合問題模型，將證明方法劃歸為組合應用問題的解決方法.賽題精講例1：求的展開式中的常數(shù)項.【解】由二項式定理得 ①其中第項為 ②在的展開式中，設第k+1項為常數(shù)項，記為則 ③由③得r－2k=0，即r=2k，r為偶數(shù)，再根據(jù)①、②知所求常數(shù)項為【評述】求某一項時用二項展開式的通項.例2：求的展開式里x5的系數(shù).【解】因為 所以的展開式里x5的系數(shù)為 【評述】本題也可將化為用例1的作法可求得.例3：已知數(shù)列滿足 求證：對于任何自然數(shù)n，是x的一次多項式或零次多項式. （1986年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題）【思路分析】由是等差數(shù)列，則從而可將表示成的表達式，再化簡即可.【解】因為 所以數(shù)列為等差數(shù)列，設其公差為d有 從而由二項定理，知又因為從而 所以當?shù)囊淮味囗検?，當零次多項?例4：已知a，b均為正整數(shù)，且求證：對一切，An均為整數(shù).【思路分析】由聯(lián)想到復數(shù)棣莫佛定理，復數(shù)需要，然后分析An與復數(shù)的關系.【證明】因為顯然的虛部，由于 所以從而的虛部.因為a、b為整數(shù)，根據(jù)二項式定理，的虛部當然也為整數(shù)，所以對一切，An為整數(shù).【評述】把An為與復數(shù)聯(lián)系在一起是本題的關鍵.例5：已知為整數(shù)，P為素數(shù)，求證：【證明】由于為整數(shù)，可從分子中約去r！，又因為P為素數(shù)，且，所以分子中的P不會紅去，因此有所以【評述】將展開就與有聯(lián)系，只要證明其余的數(shù)能被P整除是本題的關鍵.例6：若，求證：【思路分析】由已知 猜想，因此需要求出，即只需要證明為正整數(shù)即可.【證明】首先證明，對固定為r，設. 下面求.因為 又因為 所以 故 【評述】猜想進行運算是關鍵.例7：數(shù)列中，求的末位數(shù)字是多少？【思路分析】利用n取1，2，3，…猜想的末位數(shù)字.【解】當n=1時，a1=3， ，因此的末位數(shù)字都是7，猜想， 現(xiàn)假設n=k時， 當n=k+1時， 從而 于是 故的末位數(shù)字是7.【評述】猜想是關鍵.例8：求N=1988－1的所有形如為自然數(shù)）的因子d之和.【思路分析】尋求N中含2和3的最高冪次數(shù)，為此將19變?yōu)?0－1和18+1，然后用二項式定理展開.【解】因為N=1988－1=(20－1)88－1=(1－45)88－1=－ 其中M是整數(shù). 上式表明，N的素因數(shù)中2的最高次冪是5. 又因為N=(1+29)88－1 =32288+34P=32（288+9P）其中P為整數(shù). 上式表明，N的素因數(shù)中3的最高次冪是2. 綜上所述，可知，其中Q是正整數(shù)，不含因數(shù)2和3. 因此，N中所有形如的因數(shù)的和為(2+22+23+24+25)(3+32)=744.例9：設，求數(shù)x的個位數(shù)字.【思路分析】直接求x的個位數(shù)字很困難，需將與x相關數(shù)聯(lián)系，轉化成研究其相關數(shù).【解】令，由二項式定理知，對任意正整數(shù)n. 為整數(shù)，且個位數(shù)字為零.因此，x+，因為， 且，所以 故x的個位數(shù)字為9.【評述】轉化的思想很重要，當研究的問題遇到困難時，將其轉化為可研究的問題.例10：已知試問：在數(shù)列中是否有無窮多個能被15整除的項？證明你的結論.【思路分析】先求出，再將表示成與15有關的表達式，便知是否有無窮多項能被15整除.【證明】在數(shù)列中有無窮多個能被15整除的項，下面證明之.數(shù)列的特征方程為它的兩個根為，所以 （n=0，1，2，…）由 則取，由二項式定理得由上式知當15|k，即30|n時，15|an，因此數(shù)列中有無窮多個能被15整除的項.【評述】在二項式定理中，經(jīng)常在一起結合使用.65