數(shù)學(xué)奧賽輔導(dǎo)word版-資料下載頁(yè)
2025-08-21 22:56本頁(yè)面
【正文】 能被2，3，…，10整數(shù)。由于8=23，9=32，10=25，故其標(biāo)準(zhǔn)分解式中，至少含有233257的因式，因此，若設(shè) 則由而故最多還有一個(gè)為使n最小，自然宜取由考慮144的可能分解，并比較相應(yīng)n的大小，可知合乎要求的（最小）故所求的下面講一個(gè)在指定集合內(nèi)的“合數(shù)”的問(wèn)題。這種合數(shù)與通常的合數(shù)有區(qū)別，題中的“素元素”是指在該集合內(nèi)的素?cái)?shù)，也與通常的素?cái)?shù)有區(qū)別。例8．設(shè)n2為給定的正整數(shù)，試證：存在一數(shù)這個(gè)數(shù)可用不只一種方式表示成數(shù)集Vn中素元素的乘積。 （第19屆IMO試題）【證明】由于Vn中的數(shù)都不小于因而。顯然是Vn中的素元素。又若（2n－1）2不是Vn中素元素，則有由此有于是從而b=1，a=1。b=1，a=2，b=1，a=3，對(duì)此就有故n=8。這說(shuō)明 ，當(dāng)就是Vn中素元素。當(dāng)當(dāng)n=8時(shí)，有1089=1368+1=9121=3333，而9，121，33∈V8。綜上知，命題得證。例9．已知n≥2，求證：如果對(duì)于整數(shù)k（）是質(zhì)數(shù)，則對(duì)于所有整數(shù)都是質(zhì)數(shù)。（第28屆（1987）國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克試題6）【證】設(shè)m是使為合數(shù)的最小正整數(shù)。若的最小質(zhì)因子，則。（1）若m≥p，則p|（m－p）2+（m－p）+n。 又（m－p）2+（m－p）+n≥n＞p，這與m是使為合數(shù)的最小正整數(shù)矛盾。（2）若m≤p－1，則被p整除，且因?yàn)闉楹蠑?shù)，所以由 即 由此得與已知矛盾。所以，對(duì)所有的為質(zhì)數(shù)。 一高網(wǎng)址： 服務(wù)熱線：0379– 63969688 63969788 65356531
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