數(shù)學奧賽輔導word版(編輯修改稿)
2024-09-17 22:56 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 數(shù)，于是m+n與m－n都是偶數(shù)，這樣2d就是4的倍數(shù)，即d為偶數(shù)，這與上述d為奇數(shù)矛盾。故命題得證。例2．設(shè)a、b、c、d為奇數(shù)，證明：如果a+d=2k，b+c=2m，k，m為整數(shù)，那么a=1。 （第25屆IMO試題）【證明】首先易證：從而。再由因而 ①顯然，為偶數(shù)，為奇數(shù)，并且只能一個為4n型偶數(shù)，一個為4n+2型偶數(shù)（否則它們的差應(yīng)為4的倍數(shù)，然而它們的差等于2a不是4的倍數(shù)），因此，如果設(shè)，其中e，f為奇數(shù)，那么由①式及的特性就有（Ⅰ）或（Ⅱ） 由 得e=1，從而于是（Ⅰ）或（Ⅱ）分別變?yōu)榛蚪庵?，得。因a為奇數(shù)，故只能a=1。例3．設(shè)是一組數(shù)，它們中的每一個都取1或－1，而且a1a2a3a4+a2a3a4a5+…+ana1a2a3=0，證明：n必須是4的倍數(shù)。 （第26屆IMO預(yù)選題）【證明】由于每個均為1和－1，從而題中所給的等式中每一項也只取1或－1，而這樣的n項之和等于0，則取1或－1的個數(shù)必相等，因而n必須是偶數(shù)，設(shè)n=2m。再進一步考察已知等式左端n項之乘積=（）4=1，這說明，這n項中取－1的項（共m項）也一定是偶數(shù)，即m=2k，從而n是4的倍數(shù)。例4．如n是不小于3的自然數(shù)，以表示不是n的因數(shù)的最小自然數(shù)[例如=5]。如果≥3，又可作。類似地，如果≥3，又可作等等。如果，就把k叫做n的“長度”。如果用表示n的長度，試對任意的自然數(shù)n（n≥3），求，并證明你的結(jié)論。（第3屆全國中學生數(shù)學冬令營試題）【解】令為非負整數(shù)，t為奇數(shù)。 當m=0時，因而ln=1；當時
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