數(shù)學(xué)奧賽專(zhuān)題復(fù)習(xí)--因式分解(編輯修改稿)
2025-02-10 19:53 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 (x+2)(x+4)(x2+5x+8)． 說(shuō)明 由本題可知，用換元法分解因式時(shí)，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變?cè)托伦冊(cè)梢砸黄鹱冃危瑩Q元法的本質(zhì)是簡(jiǎn)化多項(xiàng)式． 例9 分解因式：6x4+7x336x27x+6． 解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x21)36x2 =6［(x42x2+1)+2x2］+7x(x21)36x2 =6[(x21)2+2x2]+7x(x21)36x2 =6(x21)2+7x(x21)24x2 =[2(x21)3x］［3(x21)+8x] =(2x23x2)(3x2+8x3) =(2x+1)(x2)(3x1)(x+3)． 說(shuō)明 本解法實(shí)際上是將x21看作一個(gè)整體，但并沒(méi)有設(shè)立新元來(lái)代替它，即熟練使用換元法后，并非每題都要設(shè)置新元來(lái)代替整體． 解法2 原式=x2[6(t2+2)+7t36] =x2(6t2+7t24)=x2(2t3)(3t+8) =x2[2(x1/x)3][3(x1/x)+8] =(2x23x2)(3x2+8x3) =(2x+1)(x2)(3x1)(x+3)． 例10 分解因式：(x2+xy+y2)4xy(x2+y2)． 分析 本題含有兩個(gè)字母，且當(dāng)互換這兩個(gè)字母的位置時(shí)，多項(xiàng)式保持不變，這樣的多項(xiàng)式叫作二元對(duì)稱(chēng)式．對(duì)于較難分解的二元對(duì)稱(chēng)式，經(jīng)常令u=x+y，v=xy，用換元法分解因式． 解 原式=[(x+y)2xy]24xy[(x+y)22xy]．令x+y=u，xy=v，則 原式=(u2v)24v(u22v) =u46u2v+9v2 =(u23v)2 =(x2+2xy+y23xy)2 =(x2xy+y2)2．練習(xí)一 1．分解因式： (2)x10+x52； (4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2x5． 2．分解因式： (1)x3+3x24； (2)x411x2y2+y2； (3)x3+9x2+26x+24； (4)x412x+323． 3．分解因式： (1)(2x23x+1)222x2+33x1； (2)x4+7x3+14x2+7x+1； (3)(x+y)3+2xy(1xy)1； (4)(x+3)(x21)(x+5)20．第一講 因式分解(一) 多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具．因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用．初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法和十字相乘法．本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上，對(duì)因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步的介紹． 1．運(yùn)用公式法 在整式的乘、除中，我們學(xué)過(guò)若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如： (1)a2b2=(a+b)(ab)； (2)a2177。2ab+b2=(a177。b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)； (4)a3b3=(ab)(a2+ab+b2)． 下面再補(bǔ)充幾個(gè)常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c33abc=(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)； (7)anbn=(ab)(an1+an2b+an3b2+…+abn2+bn1)其中n為正整數(shù)； (8)anbn=(a+b)(an1an2b+an3b2…+abn2bn1)，其中n為偶數(shù)； (9)an+bn=(a+b)(an1an2b+an3b2…abn2+bn1)，其中n為奇數(shù)． 運(yùn)用公式法分解因式時(shí)，要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號(hào)等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式． 例1 分解因式： (1)2x5n1yn+4x3n1yn+22xn1yn+4； (2)x38y3z36xyz； (3)a2+b2+c22bc+2ca2ab； (4)a7a5b2+a2b5b7． 解 (1)原式=2xn1yn(x4n2x2ny2+y4) =2xn1yn[(x2n)22x2ny2+(y2)2] =2xn1yn(x2ny2)2 =2xn1yn(xny)2(xn+y)2． (2)原式=x3+(2y)3+(z)33x(2y)(Z) =(x2yz)(x2+4y2+z2+2xy+xz2yz)． (3)原式=(a22ab+b2)+(2bc+2ca)+c2 ?。?ab)2+2c(ab)+c2 =(ab+c)2． 本小題可以稍加變形，直接使用公式(5)，解法如下： 原式=a2+(b)2+c2+2(b
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