數(shù)學奧賽專題復習--因式分解-預覽頁
【正文】 而是先將前兩組分解，再與第三組結(jié)合，找到公因式．這道題目使我們體會到拆項、添項法的極強技巧所在，同學們需多做練習，積累經(jīng)驗． 3．換元法 換元法指的是將一個較復雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個整體，并用一個新的字母替代這個整體來運算，從而使運算過程簡明清晰． 例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)12． 分析 將原式展開，是關于x的四次多項式，分解因式較困難．我們不妨將x2+x看作一個整體，并用字母y來替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關于y的二次三項式的因式分解問題了． 解 設x2+x=y，則 原式=(y+1)(y+2)12=y2+3y10 =(y2)(y+5)=(x2+x2)(x2+x+5) =(x1)(x+2)(x2+x+5)． 說明 本題也可將x2+x+1看作一個整體，比如今x2+x+1=u，一樣可以得到同樣的結(jié)果，有興趣的同學不妨試一試． 例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)90． 分析 先將兩個括號內(nèi)的多項式分解因式，然后再重新組合． 解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)90 =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]90 =(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)90． 令y=2x2+5x+2，則 原式=y(y+1)90=y2+y90 =(y+10)(y9) =(2x2+5x+12)(2x2+5x7) =(2x2+5x+12)(2x+7)(x1)． 說明 對多項式適當?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y)的基礎． 例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2． 解 設x2+4x+8=y，則 原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x) =(x2+6x+8)(x2+5x+8) =(x+2)(x+4)(x2+5x+8)． 說明 由本題可知，用換元法分解因式時，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變元和新變元可以一起變形，換元法的本質(zhì)是簡化多項式． 例9 分解因式：6x4+7x336x27x+6． 解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x21)36x2 =6［(x42x2+1)+2x2］+7x(x21)36x2 =6[(x21)2+2x2]+7x(x21)36x2 =6(x21)2+7x(x21)24x2 =[2(x21)3x］［3(x21)+8x] =(2x23x2)(3x2+8x3) =(2x+1)(x2)(3x1)(x+3)． 說明 本解法實際上是將x21看作一個整體，但并沒有設立新元來代替它，即熟練使用換元法后，并非每題都要設置新元來代替整體． 解法2 原式=x2[6(t2+2)+7t36] =x2(6t2+7t24)=x2(2t3)(3t+8) =x2[2(x1/x)3][3(x1/x)+8] =(2x23x2)(3x2+8x3) =(2x+1)(x2)(3x1)(x+3)． 例10 分解因式：(x2+xy+y2)4xy(x2+y2)． 分析 本題含有兩個字母，且當互換這兩個字母的位置時，多項式保持不變，這樣的多項式叫作二元對稱式．對于較難分解的二元對稱式，經(jīng)常令u=x+y，v=xy，用換元法分解因式． 解 原式=[(x+y)2xy]24xy[(x+y)22xy]．令x+y=u，xy=v，則 原式=(u2v)24v(u22v) =u46u2v+9v2 =(u23v)2 =(x2+2xy+y23xy)2 =(x2xy+y2)2．練習一 1．分解因式： (2)x10+x52； (4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2x5． 2．分解因式： (1)x3+3x24； (2)x411x2y2+y2； (3)x3+9x2+26x+24； (4)x412x+323． 3．分解因式： (1)(2x23x+1)222x2+33x1； (2)x4+7x3+14x2+7x+1； (3)(x+y)3+2xy(1xy)1； (4)(x+3)(x21)(x+5)20．第一講 因式分解(一) 多項式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應用于初等數(shù)學之中，是我們解決許多數(shù)學問題的有力工具．因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對于培養(yǎng)學生的解題技能，發(fā)展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用．初中數(shù)學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法．本講及下一講在中學數(shù)學教材基礎上，對因式分解的方法、技巧和應用作進一步的介紹． 1．運用公式法 在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如： (1)a2b2=(a+b)(ab)； (2)a2177。2ab+b2=(a
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