數(shù)學(xué)奧賽專題復(fù)習(xí)--因式分解-文庫吧
2024-12-30 19:53 本頁面
【正文】 用分組分解法進(jìn)行因式分解． 例4 分解因式：x39x+8． 分析 本題解法很多，這里只介紹運(yùn)用拆項(xiàng)、添項(xiàng)法分解的幾種解法，注意一下拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的與技巧． 解法1 將常數(shù)項(xiàng)8拆成1+9． 原式=x39x1+9 =(x31)9x+9 =(x1)(x2+x+1)9(x1) =(x1)(x2+x8)． 解法2 將一次項(xiàng)9x拆成x8x． 原式=x3x8x+8 =(x3x)+(8x+8) =x(x+1)(x1)8(x1) =(x1)(x2+x8)． 解法3 將三次項(xiàng)x3拆成9x38x3． 原式=9x38x39x+8 =(9x39x)+(8x3+8) =9x(x+1)(x1)8(x1)(x2+x+1) =(x1)(x2+x8)． 解法4 添加兩項(xiàng)x2+x2． 原式=x39x+8 =x3x2+x29x+8 =x2(x1)+(x8)(x1) =(x1)(x2+x8)． 說明 由此題可以看出，用拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法分解因式時(shí)，要拆哪些項(xiàng)，添什么項(xiàng)并無一定之規(guī)，主要的是要依靠對(duì)題目特點(diǎn)的觀察，靈活變換，因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)法是因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種． 例5 分解因式： (1)x9+x6+x33； (2)(m21)(n21)+4mn； (3)(x+1)4+(x21)2+(x1)4； (4)a3bab3+a2+b2+1． 解 (1)將3拆成111． 原式=x9+x6+x3111 =(x91)+(x61)+(x31) =(x31)(x6+x3+1)+(x31)(x3+1)+(x31) =(x31)(x6+2x3+3) =(x1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)． (2)將4mn拆成2mn+2mn． 原式=(m21)(n21)+2mn+2mn =m2n2m2n2+1+2mn+2mn =(m2n2+2mn+1)(m22mn+n2) =(mn+1)2(mn)2 =(mn+mn+1)(mnm+n+1)． (3)將(x21)2拆成2(x21)2(x21)2． 原式=(x+1)4+2(x21)2(x21)2+(x1)4 =［(x+1)4+2(x+1)2(x1)2+(x1)4](x21)2 =［(x+1)2+(x1)2]2(x21)2 =(2x2+2)2(x21)2=(3x2+1)(x2+3)． (4)添加兩項(xiàng)+abab． 原式=a3bab3+a2+b2+1+abab =(a3bab3)+(a2ab)+(ab+b2+1) =ab(a+b)(ab)+a(ab)+(ab+b2+1) =a(ab)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1) =[a(ab)+1](ab+b2+1) =(a2ab+1)(b2+ab+1)． 說明 (4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，所以不易想到添加+abab，而且添加項(xiàng)后分成的三項(xiàng)組又無公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結(jié)合，找到公因式．這道題目使我們體會(huì)到拆項(xiàng)、添項(xiàng)法的極強(qiáng)技巧所在，同學(xué)們需多做練習(xí)，積累經(jīng)驗(yàn)． 3．換元法 換元法指的是將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個(gè)整體，并用一個(gè)新的字母替代這個(gè)整體來運(yùn)算，從而使運(yùn)算過程簡明清晰． 例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)12． 分析 將原式展開，是關(guān)于x的四次多項(xiàng)式，分解因式較困難．我們不妨將x2+x看作一個(gè)整體，并用字母y來替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次三項(xiàng)式的因式分解問題了． 解 設(shè)x2+x=y，則 原式=(y+1)(y+2)12=y2+3y10 =(y2)(y+5)=(x2+x2)(x2+x+5) =(x1)(x+2)(x2+x+5)． 說明 本題也可將x2+x+1看作一個(gè)整體，比如今x2+x+1=u，一樣可以得到同樣的結(jié)果，有興趣的同學(xué)不妨試一試． 例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)90． 分析 先將兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式分解因式，然后再重新組合． 解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)90 =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]90 =(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)90． 令y=2x2+5x+2，則 原式=y(y+1)90=y2+y90 =(y+10)(y9) =(2x2+5x+12)(2x2+5x7) =(2x2+5x+12)(2x+7)(x1)． 說明 對(duì)多項(xiàng)式適當(dāng)?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y)的基礎(chǔ)． 例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2． 解 設(shè)x2+4x+8=y，則 原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x) =(x2+6x+8)(x2+5x+8) =
試題試卷相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1