【正文】 后分成的三項(xiàng)組又無(wú)公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結(jié)合，找到公因式．這道題目使我們體會(huì)到拆項(xiàng)、添項(xiàng)法的極強(qiáng)技巧所在，同學(xué)們需多做練習(xí)，積累經(jīng)驗(yàn)．　　3．換元法　　換元法指的是將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個(gè)整體，并用一個(gè)新的字母替代這個(gè)整體來運(yùn)算，從而使運(yùn)算過程簡(jiǎn)明清晰．　　例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)12．　　分析 將原式展開，是關(guān)于x的四次多項(xiàng)式，分解因式較困難．我們不妨將x2+x看作一個(gè)整體，并用字母y來替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次三項(xiàng)式的因式分解問題了．　　解 設(shè)x2+x=y，則　　原式=(y+1)(y+2)12=y2+3y10　　　　=(y2)(y+5)=(x2+x2)(x2+x+5)　　　　=(x1)(x+2)(x2+x+5)．　　說明 本題也可將x2+x+1看作一個(gè)整體，比如今x2+x+1=u，一樣可以得到同樣的結(jié)果，有興趣的同學(xué)不妨試一試．　　例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)90．　　分析 先將兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式分解因式，然后再重新組合．　　解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)90　　　　　 =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]90　　　　　 =(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)90．　　令y=2x2+5x+2，則　　原式=y(y+1)90=y2+y90　　　　=(y+10)(y9)　　　　=(2x2+5x+12)(2x2+5x7)　　　　=(2x2+5x+12)(2x+7)(x1)．　　說明 對(duì)多項(xiàng)式適當(dāng)?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y)的基礎(chǔ)．　　例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．　　解 設(shè)x2+4x+8=y，則　　原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)　　　　=(x2+6x+8)(x2+5x+8)　　　　=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．　　說明 由本題可知，用換元法分解因式時(shí)，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變?cè)托伦冊(cè)梢砸黄鹱冃?，換元法的本質(zhì)是簡(jiǎn)化多項(xiàng)式．　　例9 分解因式：6x4+7x336x27x+6．　　解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x21)36x2　　　　　　　=6［(x42x2+1)+2x2］+7x(x21)36x2　　　　　　　=6[(x21)2+2x2]+7x(x21)36x2　　　　　　　=6(x21)2+7x(x21)24x2　　　　　　　=[2(x21)3x］［3(x21)+8x]　　　　　　　=(2x23x2)(3x2+8x3)　　　　　　　=(2x+1)(x2)(3x1)(x+3)．　　說明 本解法實(shí)際上是將x21看作一個(gè)整體，但并沒有設(shè)立新元來代替它，即熟練使用換元法后，并非每題都要設(shè)置新元來代替整體．　　解法2　　 　　　　　　　　原式=x2[6(t2+2)+7t36]　　　　=x2(6t2+7t24)=x2(2t3)(3t+8)　　　　=x2[2(x1/x)3][3(x1/x)+8]　　　　=(2x23x2)(3x2+8x3)　　　　=(2x+1)(x2)(3x1)(x+3)．　　例10 分解因式：(x2+xy+y2)4xy(x2+y2)．　　分析 本題含有兩個(gè)字母，且當(dāng)互換這兩個(gè)字母的位置時(shí)，多項(xiàng)式保持不變，這樣的多項(xiàng)式叫作二元對(duì)稱式．對(duì)于較難分解的二元對(duì)稱式，經(jīng)常令u=x+y，v=xy，用換元法分解因式．　　解 原式=[(x+y)2xy]24xy[(x+y)22xy]．令x+y=u，xy=v，則　　原式=(u2v)24v(u22v)　　　　=u46u2v+9v2　　　　=(u23v)2　　　　=(x2+2xy+y23xy)2　　　　=(x2xy+y2)2．練習(xí)一　　1．分解因式：　　　　(2)x10+x52；　　　　(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2x5．　　2．分解因式：　　(1)x3+3x24；　　(2)x411x2y2+y2；　　(3)x3+9x2+26x+24；　　(4)x412x+323．　　3．分解因式：　　(1)(2x23x+1)222x2+33x1；　　(2)x4+7x3+14x2+7x+1；　　(3)(x+y)3+2xy(1xy)1；　　(4)(x+3)(x21)(x+5)20．第一講 因式分解(一)　　多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具．因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用．初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法和十字相乘法．本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上，對(duì)因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步的介紹．　　1．運(yùn)用公式法　　在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：　　(1)a2b2=(a+b)(ab)；　　(2)a2