數(shù)學(xué)奧賽專題復(fù)習(xí)--因式分解-wenkub.com
2025-01-11 19:53 本頁(yè)面
【正文】 2ab+b2=(a177。 第一講 因式分解(一) 多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具．因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用．初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法和十字相乘法．本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上，對(duì)因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步的介紹． 1．運(yùn)用公式法 在整式的乘、除中，我們學(xué)過(guò)若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如： (1)a2b2=(a+b)(ab)； (2)a2177。b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)； (4)a3b3=(ab)(a2+ab+b2)． 下面再補(bǔ)充幾個(gè)常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c33abc=(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)； (7)anbn=(ab)(an1+an2b+an3b2+…+abn2+bn1)其中n為正整數(shù)； (8)anbn=(a+b)(an1an2b+an3b2…+abn2bn1)，其中n為偶數(shù)； (9)an+bn=(a+b)(an1an2b+an3b2…abn2+bn1)，其中n為奇數(shù)． 運(yùn)用公式法分解因式時(shí)，要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號(hào)等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式． 例1 分解因式： (1)2x5n1yn+4x3n1yn+22xn1yn+4； (2)x38y3z36xyz； (3)a2+b2+c22bc+2ca2ab； (4)a7a5b2+a2b5b7． 解 (1)原式=2xn1yn(x4n2x2ny2+y4) =2xn1yn[(x2n)22x2ny2+(y2)2] =2xn1yn(x2ny2)2 =2xn1yn(xny)2(xn+y)2． (2)原式=x3+(2y)3+(z)33x(2y)(Z) =(x2yz)(x2+4y2+z2+2xy+xz2yz)． (3)原式=(a22ab+b2)+(2bc+2ca)+c2 ?。?ab)2+2c(ab)+c2 =(ab+c)2． 本小題可以稍加變形，直接使用公式(5)，解法如下： 原式=a2+(b)2+c2+2(b)c+2ca+2a(b) =(ab+c)2 (4)原式=(a7a5b2)+(a2b5b7) =a5(a2b2)+b5(a2b2) =(a2b2)(a5+b5) =(a+b)(ab)(a+b)(a4a3b+a2b2ab3+b4) =(a+b)2(ab)(a4a3b+a2b2ab3+b4) 例2 分解因式：a3+b3+c33abc． 本題實(shí)際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6)． 分析 我們已經(jīng)知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 的正確性，現(xiàn)將此公式變形為a3+b3=(a+b)33ab(a+b)． 這個(gè)式也是一個(gè)常用的公式，本題就借助于它來(lái)推導(dǎo)． 解 原式=(a+b)33ab(a+b)+c33abc =［(a+b)3+c3］3ab(a+b+c) =(a+b+c)［(a+b)2c(a+b)+c2]3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)． 說(shuō)明 公式(6)是一個(gè)應(yīng)用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結(jié)論，例如：我們將公式(6)變形為 a3+b3+c33abc 顯然，當(dāng)a+b+c=0時(shí)，則a3+b3+c3=3abc；當(dāng)a+b+c＞0時(shí)，則a3+b3+c33abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立． 如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，則有 等號(hào)成立的充要條件是x=y=z．這也是一個(gè)常用的結(jié)論． 例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1． 分析 這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)是：有16項(xiàng)，從最高次項(xiàng)x15開(kāi)始，x的次數(shù)順次遞減至0，由此想到應(yīng)用公式anbn來(lái)分解． 解 因?yàn)椤 161=(x1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)， 所以 說(shuō)明 在本題的分解過(guò)程中，用到先乘以(x1)，再除以(x1)的技巧，這一技巧在等式變形中很常用． 2．拆項(xiàng)、添項(xiàng)法 因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算．在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡(jiǎn)常將幾個(gè)同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類項(xiàng)相互抵消為零．在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng)．拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能
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