數(shù)學(xué)奧賽專題復(fù)習(xí)--因式分解-全文預(yù)覽
【正文】 我們已經(jīng)知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 的正確性，現(xiàn)將此公式變形為a3+b3=(a+b)33ab(a+b)． 這個(gè)式也是一個(gè)常用的公式，本題就借助于它來推導(dǎo)． 解 原式=(a+b)33ab(a+b)+c33abc =［(a+b)3+c3］3ab(a+b+c) =(a+b+c)［(a+b)2c(a+b)+c2]3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)． 說明 公式(6)是一個(gè)應(yīng)用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結(jié)論，例如：我們將公式(6)變形為 a3+b3+c33abc 顯然，當(dāng)a+b+c=0時(shí)，則a3+b3+c3=3abc；當(dāng)a+b+c＞0時(shí)，則a3+b3+c33abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號成立． 如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，則有 等號成立的充要條件是x=y=z．這也是一個(gè)常用的結(jié)論． 例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1． 分析 這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)是：有16項(xiàng)，從最高次項(xiàng)x15開始，x的次數(shù)順次遞減至0，由此想到應(yīng)用公式anbn來分解． 解 因?yàn)椤 161=(x1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)， 所以 說明 在本題的分解過程中，用到先乘以(x1)，再除以(x1)的技巧，這一技巧在等式變形中很常用． 2．拆項(xiàng)、添項(xiàng)法 因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算．在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡常將幾個(gè)同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅符號相反的同類項(xiàng)相互抵消為零．在對某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng)．拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解． 例4 分解因式：x39x+8． 分析 本題解法很多，這里只介紹運(yùn)用拆項(xiàng)、添項(xiàng)法分解的幾種解法，注意一下拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的與技巧． 解法1 將常數(shù)項(xiàng)8拆成1+9． 原式=x39x1+9 =(x31)9x+9 =(x1)(x2+x+1)9(x1) =(x1)(x2+x8)． 解法2 將一次項(xiàng)9x拆成x8x． 原式=x3x8x+8 =(x3x)+(8x+8) =x(x+1)(x1)8(x1) =(x1)(x2+x8)． 解法3 將三次項(xiàng)x3拆成9x38x3． 原式=9x38x39x+8 =(9x39x)+(8x3+8) =9x(x+1)(x1)8(x1)(x2+x+1) =(x1)(x2+x8)． 解法4 添加兩項(xiàng)x2+x2． 原式=x39x+8 =x3x2+x29x+8 =x2(x1)+(x8)(x1) =(x1)(x2+x8)． 說明 由此題可以看出，用拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法分解因式時(shí)，要拆哪些項(xiàng)，添什么項(xiàng)并無一定之規(guī)，主要的是要依靠對題目特點(diǎn)的觀察，靈活變換，因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)法是因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種． 例5 分解因式： (1)x9+x6+x33； (2)(m21)(n21)+4mn； (3)(x+1)4+(x21)2+(x1)4； (4)a3bab3+a2+b2+1． 解 (1)將3拆成111． 原式=x9+x6+x3111 =(x91)+(x61)+(x31) =(x31)(x6+x3+1)+(x31)(x3+1)+(x31) =(x31)(x6+2x3+3) =(x1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)． (2)將4mn拆成2mn+2mn． 原式=(m21)(n21)+2mn+2mn =m2n2m2n2+1+2mn+2mn =(m2n2+2mn+1)(m22mn+n2) =(mn+1)2(mn)2 =(mn+mn+1)(mnm+n+1)． (3)將(x21)2拆成2(x21)2(x21)2． 原式=(x+1)4+2(x21)2(x21)2+(x1)4 =［(x+1)4+2(x+1)2(x1)2+(x1)4](x21)2 =［(x+1)2+(x1)2]2(x21)2 =(2x2+2)2(x21)2=(3x2+1)(x2+3)． (4)添加兩項(xiàng)+abab． 原式=a3bab3+a2+b2+1+abab =(a3bab3)+(a2ab)+(ab+b2+1) =ab(a+b)(ab)+a(ab)+(ab+b2+1) =a(ab)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1) =[a(ab)+1](ab+b2+1) =(a2ab+1)(b2+ab+1)． 說明 (4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，所以不易想到添加+abab，而且添加項(xiàng)后分成的三項(xiàng)組又無公因式，
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