數(shù)學(xué)奧賽專題復(fù)習(xí)--因式分解-資料下載頁(yè)
2025-01-14 19:53本頁(yè)面
【正文】 項(xiàng)+abab． 原式=a3bab3+a2+b2+1+abab =(a3bab3)+(a2ab)+(ab+b2+1) =ab(a+b)(ab)+a(ab)+(ab+b2+1) =a(ab)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1) =[a(ab)+1](ab+b2+1) =(a2ab+1)(b2+ab+1)． 說(shuō)明 (4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，所以不易想到添加+abab，而且添加項(xiàng)后分成的三項(xiàng)組又無(wú)公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結(jié)合，找到公因式．這道題目使我們體會(huì)到拆項(xiàng)、添項(xiàng)法的極強(qiáng)技巧所在，同學(xué)們需多做練習(xí)，積累經(jīng)驗(yàn)． 3．換元法 換元法指的是將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個(gè)整體，并用一個(gè)新的字母替代這個(gè)整體來(lái)運(yùn)算，從而使運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)明清晰． 例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)12． 分析 將原式展開，是關(guān)于x的四次多項(xiàng)式，分解因式較困難．我們不妨將x2+x看作一個(gè)整體，并用字母y來(lái)替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次三項(xiàng)式的因式分解問(wèn)題了． 解 設(shè)x2+x=y，則 原式=(y+1)(y+2)12=y2+3y10 =(y2)(y+5)=(x2+x2)(x2+x+5) =(x1)(x+2)(x2+x+5)． 說(shuō)明 本題也可將x2+x+1看作一個(gè)整體，比如今x2+x+1=u，一樣可以得到同樣的結(jié)果，有興趣的同學(xué)不妨試一試． 例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)90． 分析 先將兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式分解因式，然后再重新組合． 解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)90 =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]90 =(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)90． 令y=2x2+5x+2，則 原式=y(y+1)90=y2+y90 =(y+10)(y9) =(2x2+5x+12)(2x2+5x7) =(2x2+5x+12)(2x+7)(x1)． 說(shuō)明 對(duì)多項(xiàng)式適當(dāng)?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y)的基礎(chǔ)． 例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2． 解 設(shè)x2+4x+8=y，則 原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x) =(x2+6x+8)(x2+5x+8) =(x+2)(x+4)(x2+5x+8)． 說(shuō)明 由本題可知，用換元法分解因式時(shí)，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變?cè)托伦冊(cè)梢砸黄鹱冃?，換元法的本質(zhì)是簡(jiǎn)化多項(xiàng)式． 例9 分解因式：6x4+7x336x27x+6． 解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x21)36x2 =6［(x42x2+1)+2x2］+7x(x21)36x2 =6[(x21)2+2x2]+7x(x21)36x2 =6(x21)2+7x(x21)24x2 =[2(x21)3x］［3(x21)+8x] =(2x23x2)(3x2+8x3) =(2x+1)(x2)(3x1)(x+3)． 說(shuō)明 本解法實(shí)際上是將x21看作一個(gè)整體，但并沒有設(shè)立新元來(lái)代替它，即熟練使用換元法后，并非每題都要設(shè)置新元來(lái)代替整體． 解法2 原式=x2[6(t2+2)+7t36] =x2(6t2+7t24)=x2(2t3)(3t+8) =x2[2(x1/x)3][3(x1/x)+8] =(2x23x2)(3x2+8x3) =(2x+1)(x2)(3x1)(x+3)． 例10 分解因式：(x2+xy+y2)4xy(x2+y2)． 分析 本題含有兩個(gè)字母，且當(dāng)互換這兩個(gè)字母的位置時(shí)，多項(xiàng)式保持不變，這樣的多項(xiàng)式叫作二元對(duì)稱式．對(duì)于較難分解的二元對(duì)稱式，經(jīng)常令u=x+y，v=xy，用換元法分解因式． 解 原式=[(x+y)2xy]24xy[(x+y)22xy]．令x+y=u，xy=v，則 原式=(u2v)24v(u22v) =u46u2v+9v2 =(u23v)2 =(x2+2xy+y23xy)2 =(x2xy+y2)2．練習(xí)一 1．分解因式： (2)x10+x52； (4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2x5． 2．分解因式： (1)x3+3x24； (2)x411x2y2+y2； (3)x3+9x2+26x+24； (4)x412x+323． 3．分解因式： (1)(2x23x+1)222x2+33x1； (2)x4+7x3+14x2+7x+1； (3)(x+y)3+2xy(1xy)1； (4)(x+3)(x21)(x+5)20．地址：西安經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)鳳城一路8號(hào)御道華城A座10層 電話：02986570103第 23 頁(yè) 共 23
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