【正文】 圖象.例2 比較下列各題中兩個(gè)值的大?。海?）； （2）（3） （4）.【思路分析】（1）中兩數(shù)有相同的指數(shù)－，故可將這兩者看做同一函數(shù)的兩個(gè)不同函數(shù)值，利用函數(shù)單調(diào)性比較兩數(shù)大小.【略解】（1）因?yàn)槭牵ǎ蓿?）上的減函數(shù)，又所以.（2）因?yàn)椋?）因?yàn)閥=（4）因?yàn)閥=log2x是（0，+∞）上的增函數(shù)，又3，所以log23.例3 求下列函數(shù)的定義域：（1）（2）【略解】（1）據(jù)題意有l(wèi)ogalogax0.①a1時(shí)，上式等價(jià)于logax1,即xa.②0a1時(shí)，上式等價(jià)于0logax1,即1xa .所以，當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋╝,+∞）；而當(dāng)0a1時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋╝,1）.（2）據(jù)題意有解得【評(píng)述】解指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式時(shí)，要注意比較底數(shù)a與1的大小，從而確定去掉指數(shù)、對(duì)數(shù)符號(hào)后不等號(hào)是否改向.例4 解方程：（1）（2）【略解】（1）因?yàn)樗栽匠痰葍r(jià)于令y=x6,顯然y1,則f(x)=yy是y的增函數(shù).所以yy=1212只有惟一解y=12. 即原方程有解例5 比較下列各組數(shù)的大小 ：（1）sin48176。, tan69176。)=cos47176。sin48176。tan45176。.例6 已知x∈[0，π]，比較cos(sinx)與sin(cosx)的大小.【略解】例7 已知，比較下列三數(shù)的大?。豪? 求下列函數(shù)的最小正周期：（1）y=tanx－cotx。證明三角恒等式時(shí)，首先要觀察已知與求證或所證恒等式等號(hào)兩邊三角式的繁簡(jiǎn)程度，以決定恒等變形的方向；其次要觀察已知與求證或所證恒等式等號(hào)兩邊三角式的角、函數(shù)名稱(chēng)、次數(shù)以及結(jié)構(gòu)的差別與聯(lián)系，抓住其主要差異，選擇恰當(dāng)?shù)墓綄?duì)其進(jìn)行恒等變形，從而逐步消除差異，統(tǒng)一形式，完成證明.“和差化積”、“積化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我們常用的變形技巧。sin3176。cos66176。cos66176?！璼in89176。)(sin2176。sin31176。=又 即 所以 例7：證明：對(duì)任一自然數(shù)n及任意實(shí)數(shù)為任一整數(shù)），有 【思路分析】本題左邊為n項(xiàng)的和，右邊為2項(xiàng)之差，故嘗試將左邊各項(xiàng)“裂”成兩項(xiàng)之差，并希冀能消去其中許多中間項(xiàng).【證明】 同理 …… 【評(píng)述】①本題裂項(xiàng)技巧也可通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法獲得.②“裂項(xiàng)相消”在解題中具有一定的普遍性，類(lèi)似可證下列各題：.例8：證明：【證明】 所以，【評(píng)述】①本題也可借助復(fù)數(shù)獲證. ②類(lèi)似地，有 利用上述公式可快速證明下列各式： 第八講 復(fù)數(shù)知識(shí)、方法、技能I．復(fù)數(shù)的四種表示形式代數(shù)形式：R）幾何形式：復(fù)平面上的點(diǎn)Z（）或由原點(diǎn)出發(fā)的向量.三角形式：R.指數(shù)形式：. 復(fù)數(shù)的以上幾種形式，溝通了代數(shù)、三角、幾何等學(xué)科間的聯(lián)系，使人們應(yīng)用復(fù)數(shù)解決相關(guān)問(wèn)題成為現(xiàn)實(shí). II．復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則 加、減法： 乘法： 除法： 乘方：N）； 開(kāi)方：復(fù)數(shù)次方根是 III．復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù) 復(fù)數(shù)的模的性質(zhì) ①②③④、對(duì)應(yīng)的向量、反向時(shí)取等號(hào)；⑤，與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量同時(shí)取等號(hào).共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)①；②；③④；⑤；⑥⑦z是實(shí)數(shù)的充要條件是是純虛的充要條件是Ⅳ．復(fù)數(shù)解題的常用方法與思想（1）兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是它們的實(shí)部、虛部對(duì)應(yīng)相等，或者它們的模與輻角主值相等（輻角相差2的整數(shù)倍）. 利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，可以把復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題，從而獲得解決問(wèn)題的一種途徑. （2），是模運(yùn)算中的一個(gè)突出方面.賽 題 精 講例1：設(shè)m、n為非零實(shí)數(shù)，i為虛單位，C，則方程①與②如圖I—1—8—1，在同一復(fù)平面內(nèi)的圖形（FF2是焦點(diǎn)）是（ ）圖I—1—8—1【思路分析】可根據(jù)復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的軌跡的定義；也可根據(jù)m、n的取值討論進(jìn)行求解.【略解】由復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的軌跡的定義，得 方程①在復(fù)平面上表示以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，.這表明，至少有一焦點(diǎn)在下半虛軸上，可見(jiàn)（A）不真. 又由方程①，橢圓的長(zhǎng)軸之長(zhǎng)為n， ∴|F1F2|n，而圖（C）中有|OF1|=n，可見(jiàn)（C）不真. 又因橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，必有橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)大于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，即 故在圖（B）與（D）中，均有F1 : －ni，F(xiàn)2 : mi，且. 由方程②，雙曲線上的點(diǎn)應(yīng)滿足，到F2點(diǎn)的距離小于該點(diǎn)到F1點(diǎn)的距離. 答案：（B）【別解】仿上得n0. （1）若這時(shí)，在坐標(biāo)平面上，F(xiàn)1（0，－n），F(xiàn)2（0，m），只可能為圖象（C），但與|F1F2|長(zhǎng)軸n，而|OF1|=n矛盾. （2）若均在y軸的下半軸下，故只能為圖象（B）與（D）. 又因橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，必有橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)大于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，即|n||m|. 故在（B）與（D）中，均有F1 : －ni；F2 : mi，且m0. 由方程②，雙曲線上的點(diǎn)應(yīng)滿足到F2點(diǎn)的距離小于該點(diǎn)到F1點(diǎn)的距離. 答案：（B）【評(píng)述】（1）本題涉及的知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)平面上的曲線與方程，橢圓，雙曲線，共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線，討論法.（2）本題屬于讀圖題型. 兩種解法均為基本方法：解法中前者為定義法；后者為分類(lèi)討論法.例2：若的值是 .【思路分析】本題可由已知條件入手求出復(fù)數(shù)z的模，繼而求出復(fù)數(shù)；也可由幾何意義入手來(lái)求復(fù)數(shù)z.【略解】令 ① ②①—②得 解得代入后，①+②得 【別解】如圖I—1—8—2，.過(guò)D作與實(shí)軸平行的直線AB，取AD=BD=4，【評(píng)述】本題的兩種解法中，前者應(yīng)用了復(fù)數(shù)的三角形式；后者應(yīng)用了復(fù)數(shù)的幾何意義，數(shù)形結(jié)合，形象直觀.例3：x的二次方程、m均是復(fù)數(shù)，且.設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)根為、且滿足.求|m|的最大值和最小值.【解法1】根據(jù)韋達(dá)定理有圖I—1—8—3 這表明復(fù)數(shù)m在以A（4，5）為圓心，以7為半徑的圓周上如圖I—1—8—3所示. 故原點(diǎn)O在⊙A之內(nèi). 連接OA，延長(zhǎng)交⊙A于兩點(diǎn)B與C，則|OB|=|OA|+|AB|=最大值.|OC|=|CA|－|AO|=7－最小值. ∴|m|的最大值是的最小值是7－.【解法2】同解法1，得 R）. 其中∴ |m|的最大值= |m|的最小值=【解法3】根據(jù)韋達(dá)定理，有 ， ∴ 等號(hào)成立的充要條件是的輻角主值相差，即取最小值【評(píng)述】三種解法，各有千秋. 解法1運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，揭示復(fù)數(shù)m的幾何意義，直觀清晰；解法2則活用三角知識(shí)，把化為角“”的正弦；解法3運(yùn)用不等式中等號(hào)成立的條件獲得答案；三種解法從不同側(cè)面刻面了本題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)特征.例4：若R， R，中元素的個(gè)數(shù)為 （ ） A．0 B．1 C．2 D．4 解法同本章一的練習(xí)第4題.例5：設(shè)復(fù)數(shù) .【思路分析】應(yīng)先設(shè)法求出的值.【評(píng)述】由題設(shè)知 因?yàn)? 當(dāng)，可得同樣結(jié)果，故答案4000.【評(píng)述】此題屬填空題中的難題，故解題時(shí)應(yīng)仔細(xì).例6：設(shè)復(fù)平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為則復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ） A．4 B．5 C．10 D．20【思路分析】如題設(shè)可知，.【解法1】因?yàn)槲覀冎魂P(guān)心不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，有 【答案】A.【解法2】由 可知只有4個(gè)取值，而=（）3的取值不會(huì)增加，則B、C、D均應(yīng)排除，故應(yīng)選A.【評(píng)述】，于是可用直接法（解法1）和排除法（解法2）.第九講 數(shù)列與遞進(jìn)知識(shí)、方法、技能數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的課題，也是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題., a2, …,an, …通常簡(jiǎn)記為{an}.如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的函數(shù)關(guān)系可用一個(gè)公式來(lái)表示，這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.從函數(shù)的角度看，數(shù)列可以看做是一個(gè)函數(shù)，定義域是自然數(shù)集或自然數(shù)集的一個(gè)有限子集，函數(shù)表達(dá)式就是數(shù)列的通項(xiàng)公式.對(duì)于數(shù)列{an}，把Sn=a1+a2+…+an叫做數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則有I．等差數(shù)列與等比數(shù)列1．等差數(shù)列（1）定義：（2）通項(xiàng)公式：an=a1+(n－1)d .（3）前n項(xiàng)和公式：（4）等差中項(xiàng)：（5）任意兩項(xiàng)：an=am+(n－m)d.（6）性質(zhì)：①公差為非零的等差數(shù)列的充要條件是通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)；②公差為非零的等差數(shù)列的充要條件是前n項(xiàng)和公式為n的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)；③設(shè){an}是等差數(shù)列，如果m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，那么am+an=ap+aq。bn}也是等比數(shù)列；⑤設(shè){an}是等比數(shù)列，{bn}是等差數(shù)列，bn∈Z*，則{abn}是等比數(shù)列（即等比數(shù)列中等距離分離出的子數(shù)列仍為等比數(shù)列）；⑥設(shè){an}是正項(xiàng)等比數(shù)列，則{logcan}(c0, c≠1)是等差數(shù)列.賽題精講例1 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2an－1(n=1, 2,…)，數(shù)列{bn}滿足b1=3, bk+1=bk+ak(k=1,2，…)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)之和.（1996年全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試題1）【思路分析】欲求數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和，需先求bn. 由ak=bk+1－bk, 知求ak即可，利用ak=Sk－Sk－1(k=2, 3, 4,…)可求出ak.【略解】由Sn=2an－1和a1=S1=2a1－1,得a1=1, 又an=Sn－Sn－1=2an－2an－1,即an=2an－1,因此{(lán)an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則有an=2n－1.由ak=bk+1－bk，取k=1,2,…,n－1得a1=b2－b1, a2=b3－b2, a3=b4－b3, …, an－1=bn－bn－1,將上面n－1個(gè)等式相加，得bn－b1=a1+a2+…+an. 即bn=b1+a1+a2+…+an=3+(1+2+22+…+2n－1)=2n－1+2,所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn′=（2+1）+（2+2）+（2+22）+…+（2+2n－1）=2n+2n－1.【評(píng)述】求數(shù)列的前n 項(xiàng)和，一般情況必須先研究通項(xiàng)，才可確定求和的方法.例2 求證：若三角形的三內(nèi)角成等差數(shù)列，對(duì)應(yīng)的三邊成等比數(shù)列，則此三角形必是正三角形.【思路分析】由△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，知∠B=60176。+d，其中d為常數(shù)；又由對(duì)應(yīng)的三邊a、b、c成等比數(shù)列，知b2=ac，或?qū)⑷呌洖閍、aq、aq2，其中q為正常數(shù)，由此知要證此三角形為正三角形只須證明d=0或q=1或a=b=c.【證】設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A、B、C及其對(duì)邊a、b、c，依題意b2=ac, ∠B=60176。代入得sinA, 60176。+d)= ，即[cos(2d)－cos120176。P=32（288+9P）其中P為整數(shù). 上式表明，N的素因數(shù)中3的最高次冪是2. 綜上所述，可知，其中Q是正整數(shù)，不含因數(shù)2和3. 因此，N中所有形如的因數(shù)的和為(2+22+23+24+25)(3+32)=744.例9：設(shè)，求數(shù)x的個(gè)位數(shù)字.【思路分析】直接求x的個(gè)位數(shù)字很困難，需將與x相關(guān)數(shù)聯(lián)系，轉(zhuǎn)化成研究其相關(guān)數(shù).【解】令，由二項(xiàng)式定理知，對(duì)任意正整數(shù)n. 為整數(shù)，且個(gè)位數(shù)字為零.因此，x+，因?yàn)椋?且，所以 故x的個(gè)位數(shù)字為9.【評(píng)述】轉(zhuǎn)化的思想很重要，當(dāng)研究的問(wèn)題遇到困難時(shí)，將其轉(zhuǎn)化為可研究的問(wèn)題.例10：已知試問(wèn)：在數(shù)列中是否有無(wú)窮多個(gè)能被15整除的項(xiàng)？證明你的結(jié)論.【思路分析】先求出，再將表示成與15有關(guān)的表達(dá)式，便知是否有無(wú)窮多項(xiàng)能被15整除.【證明】在數(shù)列中有無(wú)窮多個(gè)能被15整除的項(xiàng)，下面證明之.數(shù)列的特征方程為它的兩個(gè)根為，所以 （n=0，1，2，…）由 則取，由二項(xiàng)式定理得由上式知當(dāng)15|k，即30|n時(shí)，15|an，因此數(shù)列中有無(wú)窮多個(gè)能被15整除的項(xiàng).【評(píng)述】在二項(xiàng)式定理中，經(jīng)常在一起結(jié)合使用.65