【正文】 首。 記而在矛盾，所以.即對新鏈上一切，③成立. 因而添入一條新鏈后，③仍成立.這樣繼續(xù)添加，直到所有自然數(shù)均在鏈中出現(xiàn)，所得函數(shù)即為所求.【解法2】嚴格遞增，并且 又由于，∴ 因此，就是滿足要求的函數(shù).第三講 函數(shù)的概念和性質(zhì)知識、方法、技能I．函數(shù)的定義 設A，B都是非空的數(shù)集，從A到B的映射f：A→=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合，A叫做函數(shù)f(x)的定義域，象的集合C叫做函數(shù)的值域，顯然CB.II．函數(shù)的性質(zhì) （1）奇偶性 設函數(shù)f(x)的定義域為D，∈D，都有f(－x)=－f(x)，則稱f(x)是奇函數(shù)；若對任意的x∈D，都有f(－x)=f(x),則稱f(x)是偶函數(shù). （2）函數(shù)的增減性 設函數(shù)f(x)在區(qū)間D′上滿足：對任意x1, x2∈D′，并且x1x2時，總有f(x1)f(x2) (f(x1)f(x2)),則稱f(x)在區(qū)間D′上的增函數(shù)（減函數(shù)），區(qū)間D′稱為f(x)的一個單調(diào)增（減）區(qū)間.III．函數(shù)的周期性對于函數(shù) f(x),如果存在一個不為零的正數(shù)T，使得當x取定義域中的每個數(shù)時，f(x+T)=f(x)總成立，那么稱f(x)是周期函數(shù)，(x)的所有周期中存在最小值T0，稱T0為周期函數(shù)f(x)的最小值正周期.IV．高斯函數(shù)對任意實數(shù)x,我們記不超過x的最大整數(shù)為[x]，通常稱函數(shù)y=[x]為取整函數(shù)，又稱高斯函數(shù).進一步，記{x}=x－[x]，則函數(shù)y={x}稱為小數(shù)部分函數(shù)，它表示的是x的小數(shù)部分.根據(jù)高斯函數(shù)的定義，可得到其如下性質(zhì).性質(zhì)1 對任意x∈R，均有 x－1[x]≤x[x]+1.性質(zhì)2 對任意x∈R，函數(shù)y={x}的值域為.性質(zhì)3 高斯函數(shù)是一個不減函數(shù)，即對任意x1, x2∈R，若x1≤x2, 則[x1] ≤[x2].性質(zhì)3 若n∈Z, x∈R,則有 [x+n]=n+[x], {n+x}={x}后一個式子表明y={x}是一個以1為周期的函數(shù).性質(zhì)4 若x , y ∈R， 則 [x]+ [y]≤[x+y] ≤[x]+ [y]+1.性質(zhì)5 若n∈N*, x∈R, 則[nx]≥n[x]性質(zhì)6 若n∈N*, x∈R, 則.性質(zhì)7 若n∈N*, x∈R+, 則在區(qū)間[1,x]內(nèi)，恰有個整數(shù)是n的倍數(shù).性質(zhì)8 設p為質(zhì)數(shù)，n∈N*,在p在n!的質(zhì)因數(shù)分解式中的冪次為賽題精講 函數(shù)是高中數(shù)學，.I 函數(shù)的定義域和值域例1 當x為何值時，才有意義.【思路分析】應根據(jù)對數(shù)的意義，從最外層開始一層一層地逐步消去根號和對數(shù)符號求出x的范圍.【略解】由0，得≥1……∴【評述】這種多層對數(shù)及根式問題，一定要逐層由外向內(nèi)求解，要有耐心。例2 設A={a|a=7p,p∈N*},在A上定義函數(shù)f如下：若a∈A，則f(a)表示a的數(shù)字之和，例如f(7)=7，f(42)=6，：M={n|n∈N*, n≥2}.【思路分析】注意從充要條件的角度來進行證明.【略解】先證M{n|n∈N*,n≥2}.任取x∈M, 即x是被7整除的正整數(shù)的數(shù)字之和，由于710n，n=0, 1,2，…，所以x的數(shù)字之和是大于1的正整數(shù)，因此x∈{n|n∈N*，n≥2}.所以M{n|n∈N*,n≥2}.再證{n|n∈N*，n≥2} M.任取x∈{n|n∈N*,n≥2},：當x=2k(k∈N*)時，由于7|100|，于是取a= 10011001…1001，k個1001則7|a，且f(a)=2k,所以x∈M.當x=2k+1(k∈N*)時，由于7|100|，7|21，于是取b=10011001…100121， k－1個1001則7|b，且f(b)=2(k－1)+3=2k+1,故x∈M,故x∈{n|n∈N*, n≥2}M.因此 M={n|n∈N*, n≥2}.【評述】此類題目的證明嚴謹、科學.例3 設正實數(shù)x, y滿足xy=1，求函數(shù) f(x, y) =的值域.（其中（[x]表示不超過x的最大整數(shù)）【思路分析】由x、y的對稱性，不妨設x≥y，則有x2≥1，必分x=1與x1兩種情況討論.【詳解】不妨設x≥y，則x2≥1,x≥：（1）當x=1時，y=1，此時f(x,y)=.（2）當x1時，設[x]=n， {x}=x－[x]=α，則x=n+α,0≤α1.于是，y=1，故[y]=0..由函數(shù)g(x)=x+在x≥1時是遞增的和0≤α1得綜上所述，f(x, y)的值域為.【評述】本例表面上為“二元函數(shù)”實為一元函數(shù)，因為y=，消去y后就是關(guān)于x的函數(shù)了.II．函數(shù)性質(zhì)的應用在數(shù)學競賽中，常見的應用函數(shù)性質(zhì)的題目有以下幾類：1．求值、求最值例4 設函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為3的奇函數(shù)，且f(1)=2,求f(2)+f(3)的值.【思路分析】要抓住函數(shù)為奇函數(shù)且周期為3進行變形求值.【略解】對定義在R上的奇函數(shù)，必有f(0)=－f(0),即f(0)=0.∴f(3)=f(0)=0, f(2)=f(－1+3)=f(－1)=－f(1)=－2.∴f(2)+f(3)=－2.例5 設f(x)，g(x)都是定義在R上的奇函數(shù)，F(xiàn)(x)=af(x)+bg(x)+2在區(qū)間（0，+∞）上的最大值是5，求F(x)在（－∞，0）上的最小值.【思路分析】應注意F(x)－2是奇函數(shù)，這是解題的一條途徑.【略解】令(x)=F(x)－2=af(x)+bg(x),易知(x)為奇函數(shù)，且在（0，+∞）上有最大值3.∴(x)在（－∞，0）上有最小值－3.故F(x)在（－∞，0）上的最小值為－1.【評述】將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為奇函數(shù)的思想十分重要，應注意掌握這種“轉(zhuǎn)化思想”.例6 設函數(shù)f(x), 對任意x, y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，若x0時，f(x)0且f(1)=－2.（1）證明：f(x)是奇函數(shù)；（2）求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值.【思路分析】因為x∈R，由區(qū)間的特殊點，即x=0入手，是解題的出發(fā)點.【略解】（1）令x=y=0,則有 f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0.再令y=－x，得f(0)=f(x)+f(－x),∵f(0)=0, ∴f(－x)=－f(x), ∴f(x)是奇函數(shù).（2）設x1, x2∈R，且x1 x2,則 f(x2)=f[x1+(x2－x1)]=f(x1)+f(x2－x1),∵x2x1, ∴x2－x10.由已知得 f(x2－x1)0,∴f(x2)f(x1).故f(x)在R上是減函數(shù).∴f(x)在[－3，3]上的最大值[f(x)]最大值=f(－3),最小值[f(x)]最小值=f(3).又∵f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=－6, f(－3)=－f(3)=6.故f(x)在[－3，3]上的最大值為6，最小值為－6.【評述】本題中的 “x2=x1+(x2－x1)”是完成證明函數(shù)是減函數(shù)的證明的主要過程，這一特點讀者應有所體會.2．求函數(shù)的解析式例7 若f(x)=2x－2－xlga為奇函數(shù)，求實數(shù)a的值.【思路分析】可由f(x)為奇函數(shù)，得到f(－x)=－f(x),構(gòu)造方程來求a的值.【略解】∵f(－x)=2－x－2xlga=－(2x－2－xlga)=－f(x),∴(2x+2－x)－(2x+2－x)lga=0,即(2x+2－x)(1－lga)=0,∵2x+2－x0, ∴1－lga=0,故a=10.【評述】利用“函數(shù)與方程的思想”來解題依然是本題的主線，但函數(shù)是奇函數(shù)是出發(fā)點。應注意找好每道題解題的出發(fā)點.例8 已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)且f(1)=2.（1）求證：f(x)為奇函數(shù)；（2）當t2時，不等式f(klog2t)+f(log2t－log22t－2)0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.【思路分析】由f(x)的定義域為R，從其特殊點，即x=y=0入手來解此題.【略解】（1）令x=y=0得f(0)=2f(0), ∴f(0)=0.再令y=－x, 得f(0)=f(x)+f(－x),∴f(－x)=－f(x), 即f(x)為奇函數(shù).（2）∵f(0)=0, f(1)=2,且f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，故f(x)(x)是奇函數(shù).由得klog2tlog22t－log2t+2,即log22t－(k+1)log2t+20,∴(k+1)2－80,∴－2k+12,∴－1－2k－1+2.故使不等式恒成立的實數(shù)k的范圍是（－1－2，2－1）.【評述】本題（2）為函數(shù)不等式，此類題目十分典型，本節(jié)后面將專門加以介紹.第四講 常見的初等函數(shù)、二次函數(shù)知識、方法、技能常函數(shù)y=c，冪函數(shù)y=xα (α∈Q),指數(shù)函數(shù)y=ax,對數(shù)函數(shù)y=logax,三角函數(shù)（y=sinx, y=cosx , y=tanx等），反三角函數(shù)（y=arcsinx, y=arccosx , y=arctanx等）是數(shù)學中最為基本的函數(shù)，我們把它們統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).學習中應熟練掌握各基本初等函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等基本性質(zhì)，若繪出各基本初等函數(shù)的草圖，往往能“一目了然”地獲得問題的結(jié)果.繪制冪函數(shù)y=xα(α=m、n是互質(zhì)的整數(shù))草圖的一般步驟是：(1)根據(jù)指數(shù)α的大小判斷函數(shù)圖象在第一象限的情形如圖　I141.(2)判斷函數(shù)的奇偶性并確定函數(shù)圖像在其他象限的情況①m,n均為奇數(shù)時，y=xα為奇函數(shù)，圖象在一、三象限內(nèi)關(guān)于原點中心對稱.②m為偶數(shù)，n為奇數(shù)時Y=xα為偶函數(shù)，圖象在一、二象限內(nèi)關(guān)于y軸對稱. ③m為奇數(shù)，n 為偶數(shù)時，y=xα既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，函數(shù)只在第一象限有圖像.常見的函數(shù)往往是由基本初等函數(shù)通過有限次加減乘除運算或復合而得到的，=x+、值域的有關(guān)方法，并會用這些方法解決相關(guān)的問題；會判斷二次方程根的分布情況；會利用函數(shù)y=x+的性質(zhì)求出一些分式函數(shù)的值域.賽題精講例1 3個冪函數(shù)y=和y=的圖象如圖I—1—4—2：試寫出各個函數(shù)的圖象的對應編號.【思路分析】3個函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性都相同，具有類似的草圖，“精細”地考察和函數(shù)值的大小，不妨取x=2試一試.【略解】當x=2時， y=為增函數(shù)，,x=2時，圖象①的對應點縱坐標最大，圖象③的對應點縱坐標最小，所以y=對應的圖象依次為③，②，①.【評述】一般地，當α越大大時，冪函數(shù)圖像在x1對應的部分越“高”.此外，本題方法也可應用于辨別兩個草圖相近的指數(shù)函數(shù)或?qū)瘮?shù)的圖象.例2 比較下列各題中兩個值的大?。海?）； （2）（3） （4）.【思路分析】（1）中兩數(shù)有相同的指數(shù)－，故可將這兩者看做同一函數(shù)的兩個不同函數(shù)值，利用函數(shù)單調(diào)性比較兩數(shù)大小.【略解】（1）因為是（－∞，0）上的減函數(shù)，又所以.（2）因為（3）因為y=（4）因為y=log2x是（0，+∞）上的增函數(shù)，又3，所以log23.例3 求下列函數(shù)的定義域：（1）（2）【略解】（1）據(jù)題意有l(wèi)ogalogax0.①a1時，上式等價于logax1,即xa.②0a1時，上式等價于0logax1,即1xa .所以，當a1時，函數(shù)定義域為（a,+∞）；而當0a1時，函數(shù)定義域為（a,1）.（2）據(jù)題意有解得【評述】解指數(shù)、對數(shù)不等式時，要注意比較底數(shù)a與1的大小，從而確定去掉指數(shù)、對數(shù)符號后不等號是否改向.例4 解方程：（1）（2）【略解】（1）因為所以原方程等價于令y=x6,顯然y1,則f(x)=yy是y的增函數(shù).所以yy=1212只有惟一解y=12. 即原方程有解例5 比較下列各組數(shù)的大小 ：（1）sin48176。, cos313176。；（2）cos96176。, sin96176。, tan69176。.【思路分析】 比較兩數(shù)大小的一種方法是將兩數(shù)看成同一函數(shù)的兩個函數(shù)值，然后利用函數(shù)單調(diào)性來比較；另一種方法是尋找某個中介量（如0，1）等.【略解】（1）cos313176。=cos(360176。－47176。)=cos47176。=sin43176。sin48176。所以cos313176。sin48176。（2）因為鈍角的余弦小于0，正弦大于0，所以cos96176。0,