【正文】 +d)= ，即[cos(2d)－cos120176。代入得sinAbn}也是等比數(shù)列；⑤設(shè){an}是等比數(shù)列，{bn}是等差數(shù)列，bn∈Z*，則{abn}是等比數(shù)列（即等比數(shù)列中等距離分離出的子數(shù)列仍為等比數(shù)列）；⑥設(shè){an}是正項(xiàng)等比數(shù)列，則{logcan}(c0, c≠1)是等差數(shù)列.賽題精講例1 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2an－1(n=1, 2,…)，數(shù)列{bn}滿足b1=3, bk+1=bk+ak(k=1,2，…)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)之和.（1996年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試題1）【思路分析】欲求數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和，需先求bn. 由ak=bk+1－bk, 知求ak即可，利用ak=Sk－Sk－1(k=2, 3, 4,…)可求出ak.【略解】由Sn=2an－1和a1=S1=2a1－1,得a1=1, 又an=Sn－Sn－1=2an－2an－1,即an=2an－1,因此{(lán)an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則有an=2n－1.由ak=bk+1－bk，取k=1,2,…,n－1得a1=b2－b1, a2=b3－b2, a3=b4－b3, …, an－1=bn－bn－1,將上面n－1個(gè)等式相加，得bn－b1=a1+a2+…+an. 即bn=b1+a1+a2+…+an=3+(1+2+22+…+2n－1)=2n－1+2,所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn′=（2+1）+（2+2）+（2+22）+…+（2+2n－1）=2n+2n－1.【評述】求數(shù)列的前n 項(xiàng)和，一般情況必須先研究通項(xiàng)，才可確定求和的方法.例2 求證：若三角形的三內(nèi)角成等差數(shù)列，對應(yīng)的三邊成等比數(shù)列，則此三角形必是正三角形.【思路分析】由△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，知∠B=60176。sin31176?！璼in89176。cos66176。證明三角恒等式時(shí)，首先要觀察已知與求證或所證恒等式等號兩邊三角式的繁簡程度，以決定恒等變形的方向；其次要觀察已知與求證或所證恒等式等號兩邊三角式的角、函數(shù)名稱、次數(shù)以及結(jié)構(gòu)的差別與聯(lián)系，抓住其主要差異，選擇恰當(dāng)?shù)墓綄ζ溥M(jìn)行恒等變形，從而逐步消除差異，統(tǒng)一形式，完成證明.“和差化積”、“積化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我們常用的變形技巧。tan45176。)=cos47176。應(yīng)注意找好每道題解題的出發(fā)點(diǎn).例8 已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)且f(1)=2.（1）求證：f(x)為奇函數(shù)；（2）當(dāng)t2時(shí)，不等式f(klog2t)+f(log2t－log22t－2)0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【思路分析】由f(x)的定義域?yàn)镽，從其特殊點(diǎn)，即x=y=0入手來解此題.【略解】（1）令x=y=0得f(0)=2f(0), ∴f(0)=0.再令y=－x, 得f(0)=f(x)+f(－x),∴f(－x)=－f(x), 即f(x)為奇函數(shù).（2）∵f(0)=0, f(1)=2,且f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，故f(x)(x)是奇函數(shù).由得klog2tlog22t－log2t+2,即log22t－(k+1)log2t+20,∴(k+1)2－80,∴－2k+12,∴－1－2k－1+2.故使不等式恒成立的實(shí)數(shù)k的范圍是（－1－2，2－1）.【評述】本題（2）為函數(shù)不等式，此類題目十分典型，本節(jié)后面將專門加以介紹.第四講 常見的初等函數(shù)、二次函數(shù)知識、方法、技能常函數(shù)y=c，冪函數(shù)y=xα (α∈Q),指數(shù)函數(shù)y=ax,對數(shù)函數(shù)y=logax,三角函數(shù)（y=sinx, y=cosx , y=tanx等），反三角函數(shù)（y=arcsinx, y=arccosx , y=arctanx等）是數(shù)學(xué)中最為基本的函數(shù)，我們把它們統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).學(xué)習(xí)中應(yīng)熟練掌握各基本初等函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等基本性質(zhì)，若繪出各基本初等函數(shù)的草圖，往往能“一目了然”地獲得問題的結(jié)果.繪制冪函數(shù)y=xα(α=m、n是互質(zhì)的整數(shù))草圖的一般步驟是：(1)根據(jù)指數(shù)α的大小判斷函數(shù)圖象在第一象限的情形如圖　I141.(2)判斷函數(shù)的奇偶性并確定函數(shù)圖像在其他象限的情況①m,n均為奇數(shù)時(shí)，y=xα為奇函數(shù)，圖象在一、三象限內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)中心對稱.②m為偶數(shù)，n為奇數(shù)時(shí)Y=xα為偶函數(shù)，圖象在一、二象限內(nèi)關(guān)于y軸對稱. ③m為奇數(shù)，n 為偶數(shù)時(shí)，y=xα既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，函數(shù)只在第一象限有圖像.常見的函數(shù)往往是由基本初等函數(shù)通過有限次加減乘除運(yùn)算或復(fù)合而得到的，=x+、值域的有關(guān)方法，并會(huì)用這些方法解決相關(guān)的問題；會(huì)判斷二次方程根的分布情況；會(huì)利用函數(shù)y=x+的性質(zhì)求出一些分式函數(shù)的值域.賽題精講例1 3個(gè)冪函數(shù)y=和y=的圖象如圖I—1—4—2：試寫出各個(gè)函數(shù)的圖象的對應(yīng)編號.【思路分析】3個(gè)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性都相同，具有類似的草圖，“精細(xì)”地考察和函數(shù)值的大小，不妨取x=2試一試.【略解】當(dāng)x=2時(shí)， y=為增函數(shù)，,x=2時(shí)，圖象①的對應(yīng)點(diǎn)縱坐標(biāo)最大，圖象③的對應(yīng)點(diǎn)縱坐標(biāo)最小，所以y=對應(yīng)的圖象依次為③，②，①.【評述】一般地，當(dāng)α越大大時(shí)，冪函數(shù)圖像在x1對應(yīng)的部分越“高”.此外，本題方法也可應(yīng)用于辨別兩個(gè)草圖相近的指數(shù)函數(shù)或?qū)瘮?shù)的圖象.例2 比較下列各題中兩個(gè)值的大?。海?）； （2）（3） （4）.【思路分析】（1）中兩數(shù)有相同的指數(shù)－，故可將這兩者看做同一函數(shù)的兩個(gè)不同函數(shù)值，利用函數(shù)單調(diào)性比較兩數(shù)大小.【略解】（1）因?yàn)槭牵ǎ蓿?）上的減函數(shù)，又所以.（2）因?yàn)椋?）因?yàn)閥=（4）因?yàn)閥=log2x是（0，+∞）上的增函數(shù)，又3，所以log23.例3 求下列函數(shù)的定義域：（1）（2）【略解】（1）據(jù)題意有l(wèi)ogalogax0.①a1時(shí)，上式等價(jià)于logax1,即xa.②0a1時(shí)，上式等價(jià)于0logax1,即1xa .所以，當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋╝,+∞）；而當(dāng)0a1時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋╝,1）.（2）據(jù)題意有解得【評述】解指數(shù)、對數(shù)不等式時(shí)，要注意比較底數(shù)a與1的大小，從而確定去掉指數(shù)、對數(shù)符號后不等號是否改向.例4 解方程：（1）（2）【略解】（1）因?yàn)樗栽匠痰葍r(jià)于令y=x6,顯然y1,則f(x)=yy是y的增函數(shù).所以yy=1212只有惟一解y=12. 即原方程有解例5 比較下列各組數(shù)的大小 ：（1）sin48176。, cos313176。=sin43176。=1所以cos96176。當(dāng)然有時(shí)也可以利用萬能公式“弦化切割”，將題目轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于的代數(shù)恒等式的證明問題.萬能公式相除相除相除積化和差和差化積相加減 要快捷地完成三角恒等式的證明，必須選擇恰當(dāng)?shù)娜枪? 為此，同學(xué)們要熟練掌握各公式及各公式的來龍去脈和變形形式. 上圖為三角公式脈絡(luò)圖，由圖可見兩角和差的三角函數(shù)的公式是所有三角公式的核心和基礎(chǔ). 此外，三角是代數(shù)與幾何聯(lián)系的“橋梁”，與復(fù)數(shù)也有緊密的聯(lián)系，因而許多三角問題往往可以從幾何或復(fù)數(shù)角度獲得巧妙的解法. 三角不等式首先是不等式，因此，要掌握證明不等式的常用方法：配方法、比較法、放縮法、基本不等式法、數(shù)學(xué)歸納法等. 其次，三角不等式又有自己的特點(diǎn)——含有三角式，因而三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性以及圖象特征等都是處理三角不等式的銳利武器. 三角形中有關(guān)問題也是數(shù)學(xué)競賽和高考的常見題型. 解決這類問題，要充分利用好三角形內(nèi)角和等于180176。cos78176。=(sin1176。sin89176。三個(gè)角可設(shè)為60176。sinC=，整理得[cos(A－C)－cos(A+C)=，即cos(A－C)=1,所以A=C，且∠B=60176。]= .得cos2d=1, d=0176。sin(60176。sinC，把B=60176。aq；②設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則Sm, S2m－Sm, S3m－S2m, …，Spm－S(p－1)m(m1, p≥3，m、n∈N*)仍為等比數(shù)列；③設(shè){an}是等比數(shù)列，則{λan}（λ是常數(shù)）、{}（m∈Z*）仍成等比數(shù)列；④設(shè){an}與{bn}是等比數(shù)列，則{an)…(sin29176。sin3176。cos42176。因，同理，另，4式相乘即得證. （4）設(shè)例3等價(jià)于類似例4可證事實(shí)上，一般地有排序不等式（排序原理）： 設(shè)有兩個(gè)有序數(shù)組，則（順序和）（亂序和）（逆序和）.排序不等式應(yīng)用較為廣泛（其證明略），. 例3： 【思路分析】中間式子中每項(xiàng)均為兩個(gè)式子的和，將它們拆開，再用排序不等式證明. 【略解】不妨設(shè)，則（亂序和）（逆序和），同理（亂序和）（逆序和）兩式相加再除以2，仿上可證第二個(gè)不等式. 例4：設(shè)，且各不相同，求證：【思路分析】不等式右邊各項(xiàng)；可理解為兩數(shù)之積，嘗試用排序不等式.【略解】設(shè)的重新排列，滿足，又，故從而，原式得證. 【評述】排序不等式應(yīng)用廣泛，例如可證我們熟悉的基本不等式， 例5：利用基本不等式證明 【思路分析】左邊三項(xiàng)直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對稱性，可用輪換的方法. 【略解】；三式相加再除以2即得證. 【評述】（1）利用基本不等式時(shí)，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項(xiàng)、連用等技巧. 如，可在不等式兩邊同時(shí)加上 再如證時(shí)，可連續(xù)使用基本不等式. （2）基本不等式有各種變式 ，系數(shù)和為1. 例6：已知求證： 【思路分析】不等式左邊是、的4次式，右邊為常數(shù)，如何也轉(zhuǎn)化為、的4次式呢. 【略解】要證即證 【評述】（1）：右側(cè)的可理解為再如已知，求證：+，此處可以把0理解為，當(dāng)然本題另有簡使證法. （2）基本不等式實(shí)際上是均值不等式的特例.（一般地，對于個(gè)正數(shù)調(diào)和平均幾何平均算術(shù)平均平方平均這四個(gè)平均值有以下關(guān)系：，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立. 例7：利用排序不等式證明. 【證明】令則，故可取，使得由排序不等式有： =（亂序和） （逆序和） =n， 【評述】對各數(shù)利用算術(shù)平均大于等于幾何平均即可得，. 例8：證明：對于任意正整數(shù)R，有 【思路分析】原不等式等價(jià)于，故可設(shè)法使其左邊轉(zhuǎn)化為n個(gè)數(shù)的幾何平均，而右邊為其算術(shù)平均. 【略證】 【評述】（1）利用均值不等式證明不等式的關(guān)鍵是通過分拆和轉(zhuǎn)化，（2）本題亦可通過逐項(xiàng)展開并比較對應(yīng)項(xiàng)的大小而獲證，但較繁. 例9：n為正整數(shù)，證明： 【證明】先證左邊不等式 （*）式成立，故原左邊不等式成立. 其次證右邊不等式 （**） （**）式恰符合均值不等式，故原不等式右邊不等號成立.第六講 不等式的應(yīng)用、參數(shù)取值范圍問題知識、方法、技能I．排序不等式（又稱排序原理） 設(shè)有兩個(gè)有序數(shù)組及 則（同序和） （亂序和） （逆序和） 其中是1，2，…，（對任一排列）成立. 證明：不妨設(shè)在亂序和S中時(shí)（若，則考慮），且在和S中含有項(xiàng)則 ①事實(shí)上，左－右= 由此可知，當(dāng)時(shí)，調(diào)換（）中與位置（其余不動(dòng)），所得新和調(diào)整好及后，接著再仿上調(diào)整與，又得如此至多經(jīng)次調(diào)整得順序和 ② 這就證得“順序和不小于亂序和”.顯然，當(dāng)或時(shí)②，若它們不全相等，則必存在及k，使這時(shí)①②中不等號成立. 類似地可證“亂序和不小于逆序和”.II．應(yīng)用排序不等式可證明“平均不等式”： 設(shè)有n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)分別是 此外，還有調(diào)和平均數(shù)（在光學(xué)及電路分析中要用到 ， 和平方平均（在統(tǒng)計(jì)學(xué)及誤差分析中用到） 這四個(gè)平均值有以下關(guān)系. 其中等號成立的充分必要條件都是. 下面首先證明算術(shù)平均數(shù)一幾何平均數(shù)不等式： 記； 由于數(shù)組和數(shù)組中對應(yīng)的數(shù)互為倒數(shù)，由排序不等式得 （逆序和） ， 即 從而等號當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)成立，而這兩者都可得到. 下面證明對個(gè)正數(shù)應(yīng)用得 即（符號成立的條件是顯然的）.最后證明它等價(jià)于 而上式左邊=，對一切成立.III．應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)—