【正文】 為實(shí)數(shù) 即【評述】此類函數(shù)方程問題，應(yīng)注意將之轉(zhuǎn)化為一般方程來解之.例7：已知成立時(shí)，a需滿足的充要條件.【思路分析】由【略解】由于是，若 ①必有而①成立的條件是 即 解得 【評述】此類求參數(shù)范圍的問題，應(yīng)注意利用集合的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為不等式問題來求解.例8：設(shè)A、B是坐標(biāo)平面上的兩個(gè)點(diǎn)集，若對任何都有，？【思路分析】要想說明一個(gè)命題不正確，只需舉出一個(gè)反例即可.【略解】不正確.反例：取B為A去掉（0，0）后的集合.容易看出但A不包含在B中.【評述】本題這種舉反例判定命題的正確與否的方法十分重要，應(yīng)注意掌握之.Ⅲ．有限集合中元素的個(gè)數(shù)有限集合元素的個(gè)數(shù)在課本P23介紹了如下性質(zhì)：一般地，對任意兩個(gè)有限集合A、B，有我們還可將之推廣為：一般地，對任意n個(gè)有限集合有應(yīng)用上述結(jié)論，可解決一類求有限集合元素個(gè)數(shù)問題.【例9】某班期末對數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科總評成績有21個(gè)優(yōu)秀，物理總評19人優(yōu)秀，化學(xué)總評有20人優(yōu)秀，數(shù)學(xué)和物理都優(yōu)秀的有9人，物理和化學(xué)都優(yōu)秀的有7人，化學(xué)和數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有8人，試確定全班人數(shù)以及僅數(shù)字、僅物理、僅化學(xué)單科優(yōu)秀的人數(shù)范圍（該班有5名學(xué)生沒有任一科是優(yōu)秀）.【思路分析】應(yīng)首先確定集合，以便進(jìn)行計(jì)算.【詳解】設(shè)A={數(shù)學(xué)總評優(yōu)秀的學(xué)生}，B={物理總評優(yōu)秀的學(xué)生}，C={化學(xué)總評優(yōu)秀的學(xué)生}.則∵ ∴這里，是數(shù)、理、化中至少一門是優(yōu)秀的人數(shù)，估計(jì)的范圍的問題與估計(jì)的范圍有關(guān).注意到，可知. 因而可得又∵∴ 這表明全班人數(shù)在41~48人之間.僅數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人數(shù)是∴可見 同理可知 故僅數(shù)學(xué)單科優(yōu)秀的學(xué)生在4~11之間，僅物理單科優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)在3~10之間，僅化學(xué)單科優(yōu)秀的學(xué)生在5~12人之間. 第二講 映射及映射法知識、方法、技能1．映射的定義設(shè)A，B是兩個(gè)集合，如果按照某種對應(yīng)法則f，對于集合A中的任何一個(gè)元素，在集合B中都有惟一的元素和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)叫做從集合A到集合B的映射，記作（1）映射是特殊的對應(yīng)，映射中的集合A，B可以是數(shù)集，也可以是點(diǎn)集或其他集合，這兩個(gè)集合有先后次序，從A到B的映射與從B到A的映射是截然不同的.（2）原象和象是不能互換的，互換后就不是原來的映射了.（3）映射包括集合A和集合B，以及集合A到B的對應(yīng)法則f，三者缺一不可.（4）對于一個(gè)從集合A到集合B的映射來說，A中的每一個(gè)元素必有惟一的，也不一定只有一個(gè).2．一一映射一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)集合，是集合A到集合B的映射，如果在這個(gè)映射下，對于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一個(gè)元素都有原象，那么個(gè)這個(gè)映射叫做A到B上的一一映射.3．逆映射如果f是A與B之間的一一對應(yīng)，那么可得B到A的一個(gè)映射g：任給，規(guī)定，其中a是b在f下的原象，稱這個(gè)映射g是f的逆映射，并將g記為f—1.顯然有（f—1）—1= f，即如果f是A與B之間的一一對應(yīng)，則f—1是B與A之間的一一對應(yīng)，并且f—1的逆映射是f.事實(shí)上，f—1是B到A的映射，對于B中的不同元素b1和b2，由于它們在f下的原象不同，所以b1和b2在f—1下的像不同，所以f—1是1－1的.任給，—，f—1是映射上的.這樣即得f—1是B到A上的1－1映射，即f——1有逆映射由于任給，其中b是a在f—1下的原象，即f—1(b)=a，所以，f(a)=b，從而，這即是f—1的逆映射是f.賽題精講Ⅰ映射關(guān)映射的高中數(shù)學(xué)競賽題是常見題型之一，請看下述試題.例1：設(shè)集合映射f：F→.【思路分析】應(yīng)從入手，列方程組來解之.【略解】由f的定義和已知數(shù)據(jù)，得將兩式相加，相減并分別分解因式，得顯然，的條件下，對應(yīng)可知同理，由對應(yīng)地，于是有以下兩種可能：（Ⅰ） （Ⅱ）由（Ⅰ）解出x=1，y=9，u=8，v=6；由（Ⅱ）解出y=12，（Ⅱ）無解.【評述】在解此類問題時(shí)，估計(jì)的可能值是關(guān)鍵，其中，對它們的取值范圍的討論十分重要.例2：已知集合求一個(gè)A與B的一一對應(yīng)f，并寫出其逆映射.圖Ⅰ－1－2－1【略解】從已知集合A，B看出，它們分別是坐標(biāo)平面上兩直線所夾角形區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的集合（如圖Ⅰ－1－2－1）.集合A為直線所夾角內(nèi)點(diǎn)的集合，集合B則是第一、并要沒有“折疊”與“漏洞”.先用極坐標(biāo)表示集合A和B： 令在這個(gè)映射下，極徑?jīng)]有改變，輻角之間是一次函數(shù)，因而之間是一一對應(yīng)，其中所以，映射f是A與B的一一對應(yīng). 逆映射極易寫，從略.【評述】本題中將下角坐標(biāo)問題化為極坐標(biāo)問題，.Ⅱ映射法應(yīng)用映射知識往往能巧妙地解決有關(guān)集合的一些問題.例3：設(shè)X={1，2，…，100}，對X的任一非空子集M，M中的最大數(shù)與最小數(shù)的和稱為M的特征，記為求X的所有非空子集的特征的平均數(shù).【略解】設(shè)于是是X的非空子集的全體（子集組成的集），Y到X自身的滿射，記X的非空子集為A1，A2，…，An（其中n=2100－1），則特征的平均數(shù)為由于A中的最大數(shù)與A′中的最小數(shù)的和為101，A中最小數(shù)與A′中的最大數(shù)的和也為101，故從而特征平均數(shù)為 如果A，B都是有限集合，它們的元素個(gè)數(shù)分別記為對于映射來說，如果f是單射，則有；如果f是滿射，則有；如果f是雙射，我們就找另一個(gè)集合B，建立一一對應(yīng)，把B的個(gè)數(shù)數(shù)清，.例4：把△ABC的各邊n等分，過各分點(diǎn)分別作各邊的平行線，得到一些由三角形的邊和這些平行線所組成的平行四邊形，試計(jì)算這些平等四邊形的個(gè)數(shù).【略解】如圖Ⅰ－1－2－2所示，我們由對稱性，AC邊各延長一等分，分別到B′，C′，連接B′C′.將A′B′的n條平行線分別延長，與B′C′相交，連同B′，C′共有n+2個(gè)分點(diǎn)，從B′至C′依次記為1，2，…，n+′C′于i，j，k， A={邊不平行于BC的小平行四邊形}， 把小平行四邊形的四條邊延長且交邊于四點(diǎn)的過程定義為一個(gè)映射：.下面我們證明f是A與B的一一對應(yīng)，事實(shí)上，不同的小平行四邊形至少有一條邊不相同，四點(diǎn)組亦不相同，從而f是A到B的1－1的映射.任給一個(gè)四點(diǎn)組，過i，j點(diǎn)作AB的平行線，過k，l作AC的平行線，必交出一個(gè)邊不平行于BC的小平行四邊形，所以，映射f是A到B的滿射. 總之f是A與B的一一對應(yīng)，于是有加上邊不平行于AB和AC的兩類小平行四邊形，得到所有平行四邊形的總數(shù)是例5：在一個(gè)66的棋盤上，已經(jīng)擺好了一些12的骨牌，每一個(gè)骨牌都恰好覆蓋兩上相鄰的格子，證明：如果還有14個(gè)格子沒有被覆蓋，則至少能再放進(jìn)一個(gè)骨牌.【思路分析】還有14個(gè)空格，說明已經(jīng)擺好了11塊骨牌，如果已經(jīng)擺好的骨牌是12塊，圖Ⅰ－1－2－3所示的擺法就說明不能再放入骨牌.所以，要證明當(dāng)還有14個(gè)空格時(shí)，能再放入一個(gè)骨牌，情況不發(fā)生，則每個(gè)空格的四周都有骨牌，由于正方形是對稱的，當(dāng)我們選定一個(gè)方向時(shí)，空格和骨牌就有了某種對應(yīng)關(guān)系，即可建立空格到骨牌的一種映射，通過對空格集合與骨牌集合之間的數(shù)量關(guān)系，可以得到空格分布的一個(gè)很有趣的結(jié)論，從而也就證明了我們的命題.【略解】我們考慮下面56個(gè)方格中的空.如果棋盤第一行（即最上方的一行）中的空格數(shù)多于3個(gè)時(shí)，則必有兩空格相鄰，這時(shí)問題就得到解決. 現(xiàn)設(shè)第一行中的空格數(shù)最多是3個(gè)，則有，另一方面全部的骨牌數(shù)為11，即所以必有事實(shí)上這是一個(gè)一一映射，這時(shí)，將發(fā)生一個(gè)很有趣的現(xiàn)象：最下面一行全是空格，當(dāng)然可以放入一個(gè)骨牌.【評述】這個(gè)題目的證明是頗具有特色的，從內(nèi)容上講，這個(gè)題目具有一定的綜合性，既有覆蓋與結(jié)構(gòu)，又有計(jì)數(shù)與映射，尤其是利用映射來計(jì)數(shù)，在數(shù)學(xué)競賽中還較少見. ，用抽屜原則以及用分組的方法來討論其中兩行的結(jié)構(gòu)，也能比較容易地解決這個(gè)問題，請讀者作為練習(xí).例6：設(shè)N={1，2，3，…}，論證是否存一個(gè)函數(shù)使得，對一切成立，格，考察它上方的與之相鄰的方格中的情況.（1）如果上方的這個(gè)方格是空格，則問題得到解決.（2）如果上方的這個(gè)方格被骨牌所占，這又有三種情況.（i）骨牌是橫放的，且與之相鄰的下方的另一個(gè)方格也是空格，則這時(shí)有兩空格相鄰，即問題得到解決；（ii）骨牌是橫放的，與之相鄰的下方的另一個(gè)方格不是空格，即被骨牌所覆蓋；（iii）骨牌是豎放的. 現(xiàn)在假設(shè)僅發(fā)生（2）中的（ii）和（iii）時(shí)，我們記X為下面56個(gè)方格中的空格集合，Y為上面56個(gè)方格中的骨牌集合，作映射，由于每個(gè)空格（X中的）上方都有骨牌（Y中的），這個(gè)映射是單射，于是有，對一切成立.【解法1】存在，首先有一條鏈.1→2→3→5→8→13→21→… ①鏈上每一個(gè)數(shù)n的后繼是，f滿足 ②即每個(gè)數(shù)是它產(chǎn)面兩個(gè)數(shù)的和，這種鏈稱為f鏈.對于①中的數(shù)mn，由①遞增易知有 ③我們證明自然數(shù)集N可以分析為若干條f鏈，并且對任意自然數(shù)mn，③成立（從而），并且每兩條鏈無公共元素）.方法是用歸納法構(gòu)造鏈（參見單壿著《數(shù)學(xué)競賽研究教程》江蘇教育出版社）設(shè)已有若干條f鏈，滿足③，而k+1是第一個(gè)不在已有鏈中出現(xiàn)的數(shù)，定義 ④這鏈中其余的數(shù)由②逐一確定.對于mn，如果m、n同屬于新鏈，③顯然成立，設(shè)m、在m=k+1時(shí)，設(shè)對于m，③成立，則[由②易知]. 即對新鏈上一切m，③成立.若n屬于新鏈，在n=k+1時(shí)，設(shè)對于n，③成立，在mn時(shí)，m不為原有鏈的鏈?zhǔn)住?yīng)注意找好每道題解題的出發(fā)點(diǎn).例8 已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)且f(1)=2.（1）求證：f(x)為奇函數(shù)；（2）當(dāng)t2時(shí)，不等式f(klog2t)+f(log2t－log22t－2)0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【思路分析】由f(x)的定義域?yàn)镽，從其特殊點(diǎn)，即x=y=0入手來解此題.【略解】（1）令x=y=0得f(0)=2f(0), ∴f(0)=0.再令y=－x, 得f(0)=f(x)+f(－x),∴f(－x)=－f(x), 即f(x)為奇函數(shù).（2）∵f(0)=0, f(1)=2,且f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，故f(x)(x)是奇函數(shù).由得klog2tlog22t－log2t+2,即log22t－(k+1)log2t+20,∴(k+1)2－80,∴－2k+12,∴－1－2k－1+2.故使不等式恒成立的實(shí)數(shù)k的范圍是（－1－2，2－1）.【評述】本題（2）為函數(shù)不等式，此類題目十分典型，本節(jié)后面將專門加以介紹.第四講 常見的初等函數(shù)、二次函數(shù)知識、方法、技能常函數(shù)y=c，冪函數(shù)y=xα (α∈Q),指數(shù)函數(shù)y=ax,對數(shù)函數(shù)y=logax,三角函數(shù)（y=sinx, y=cosx , y=tanx等），反三角函數(shù)（y=arcsinx, y=arccosx , y=arctanx等）是數(shù)學(xué)中最為基本的函數(shù)，我們把它們統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).學(xué)習(xí)中應(yīng)熟練掌握各基本初等函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等基本性質(zhì)，若繪出各基本初等函數(shù)的草圖，往往能“一目了然”地獲得問題的結(jié)果.繪制冪函數(shù)y=xα(α=m、n是互質(zhì)的整數(shù))草圖的一般步驟是：(1)根據(jù)指數(shù)α的大小判斷函數(shù)圖象在第一象限的情形如圖　I141.(2)判斷函數(shù)的奇偶性并確定函數(shù)圖像在其他象限的情況①m,n均為奇數(shù)時(shí)，y=xα為奇函數(shù)，圖象在一、三象限內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)中心對稱.②m為偶數(shù)，n為奇數(shù)時(shí)Y=xα為偶函數(shù)，圖象在一、二象限內(nèi)關(guān)于y軸對稱. ③m為奇數(shù)，n 為偶數(shù)時(shí)，y=xα既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，函數(shù)只在第一象限有圖像.常見的函數(shù)往往是由基本初等函數(shù)通過有限次加減乘除運(yùn)算或復(fù)合而得到的，=x+、值域的有關(guān)方法，并會(huì)用這些方法解決相關(guān)的問題；會(huì)判斷二次方程根的分布情況；會(huì)利用函數(shù)y=x+的性質(zhì)求出一些分式函數(shù)的值域.賽題精講例1 3個(gè)冪函數(shù)y=和y=的圖象如圖I—1—4—2：試寫出各個(gè)函數(shù)的圖象的對應(yīng)編號.【思路分析】3個(gè)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性都相同，具有類似的草圖，“精細(xì)”地考察和函數(shù)值的大小，不妨取x=2試一試.【略解】當(dāng)x=2時(shí)， y=為增函數(shù)，,x=2時(shí)，圖象①的對應(yīng)點(diǎn)縱坐標(biāo)最大，圖象③的對應(yīng)點(diǎn)縱坐標(biāo)最小，所以y=對應(yīng)的圖象依次為③，②，①.【評述】一般地，當(dāng)α越大大時(shí)，冪函數(shù)圖像在x1對應(yīng)的部分越“高”.此外，本題方法也可應(yīng)用于辨別兩個(gè)草圖相近的指數(shù)函數(shù)或?qū)瘮?shù)的