高中數(shù)學復習學案(第45講)橢圓(編輯修改稿)
2025-07-04 23:27 本頁面
【文章內容簡介】 若,則當時最大,即, ,故矛盾. 若時,時, 所求方程為 把y=─代入，求得M的坐標是(─,─)或(,─).點評：二次曲線的最值問題，常常歸結為二次函數(shù)的最值問題，解題時要注意對自變量的范圍進行討論.例9 設橢圓與雙曲線有共同焦點F1(─4,0),F2(4,0), 并且橢圓長軸長是雙曲線實軸長的2倍，試求橢圓與雙曲線的交點的軌跡.解法一：設交點為P(x,y), 雙曲線的實半軸長為a (2a4),則橢圓長半軸長為2a, 由半焦距為4, 得它們的方程分別為： (1) 和=1 (2)(2)180。4─(1)得： (3),代入(1)得：a2=2|x|再代入(3)化簡得：(x─5)2+y2=9 或(x+5)2+y2=9 .解法二：用定義法求解. |F1P|+|F2P|=2||F1P|─F2P||, 解得：|F1P|=3180。 |F2P| 或3180。 |F1P|=|F2P| .即：3或 3,化簡得：(x─5)2+y2=9 或(x+5)2+y2=9 .例10 如圖 ,橢圓的中心在原點, 焦點在x軸上, 過其右焦點F作斜率為1的直線, 交橢圓于A、B兩點, 若橢圓上存在一點C, 使＋＝. (1) 求橢圓的離心率。(2) 若＝15, 求著個橢圓的方程.解: (1)設橢圓的方程為, 焦距為, 則直線l的方程為:,代入橢圓方程, 得, 設點、,則∵＋, ∴C點坐標為.∵C點在橢圓上, ∴.∴∴又∴∴(2) ∵由已知從而. ∴.故橢圓的方程為: .例11 已知常數(shù)a＞0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a， O為AB的中點，點E、F、G分別在BC、CD、DA上移動，且==，P為GE與OF的交點（如下圖）.問是否存在兩個定點，使P到這兩點的距離的和為定值？若存在，求出這兩點的坐標及此定值；若不存在，請說明理由.分析：根據(jù)題設條件首先求出P點坐標滿足的方程，據(jù)此可判斷是否存在兩點，使得點P到兩定點距離的和為定值.解：按題意，有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）.設===k（0≤k≤1），由此有E（2，4ak），F(xiàn)（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）.直線OF的方程為2ax+（2k－1）y=0. ①直線GE的方程為－a（2k－1）x+y－2a=0. ② 由①②消去參數(shù)k，得點P（x，y）滿足方程2a2x2+y2－2ay=0.整理得+=1.當a2=時，點P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點.當a2≠時，點P的軌跡為橢圓的一部分，點P到該橢圓焦點的距離的和為定長.當a2＜時，點P到橢圓兩個焦點（－，a），（，a）的距離之和為定值.當a2＞時，點P到橢圓兩個焦點（0，a－），（0，a+）的距離之和為定值2a.點評：本題主要考查根據(jù)已知條件求軌跡的方法，橢圓的方程和性
教學教案相關推薦
鄂ICP備17016276號-1