應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)(編輯修改稿)
2025-08-15 01:37 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 20分鐘 ,且每臺(tái)開動(dòng)與否相互獨(dú)立 .因電力供應(yīng)緊張 ,電力部門僅提供 30千瓦的電力給這 5臺(tái)機(jī)床 .問(wèn) 5臺(tái)機(jī)床正常工作的概率有多大 ?解 設(shè) A為 “機(jī)床實(shí)際在開動(dòng) ”,X為 “同時(shí)開動(dòng)的機(jī)床數(shù) ”,則 P(A)=1/3,X~B(n,p),其中 n=5,p=1/3,所求概率為P(X≤3) =1P(X=4)P(X=5)≈或 P(X≤3)返回隨機(jī)變量的分布函數(shù) 定義 設(shè) X是任意一個(gè)隨機(jī)變量 ,稱函數(shù) F(x)=P(X≤x), － ∞＜ x＜＋ ∞ 為隨機(jī)變量 X的 分布函數(shù) . (1) 0≤F(x)≤1, － ∞＜ x＜＋ ∞, (2)F(x)是 x的單調(diào)不減函數(shù) 。 (3) (4)F(x)在每一點(diǎn)處均是右連續(xù)的 ,即 : F(x+0)=F(x)1. 分布函數(shù)性質(zhì) 返回 (1) F(x)= (3) 對(duì)任意 ab有 P(aX≤b)=P(X≤b)P(X≤a)=F(b)F(a)。 P(a ≤ Xb)=P(Xb)P(Xa)=F(b0)F(a0)。 P(Xa)=F(a0)。 P(X≥a)=1P(Xa)=1F(a0). 對(duì)于 離散型隨機(jī)變量 X的分布函數(shù) 有返回例 9 設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 01分布 ,即 : X 0 1 P ,求 X的分布函數(shù) .解 (1) 當(dāng) x0時(shí) ,F(x)=P(X≤x)= =0 (2)當(dāng) 0≤x1時(shí) ,F(x)=P(X≤x)= =P(X=0)= (3)當(dāng) 1≤x時(shí) ,F(x)=P(X≤x)==P(X=0)+P(X=1)=1 分布函數(shù)圖形如下xF(x)110所以返回對(duì)應(yīng)概率值為 P (1)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是分段函數(shù) ,分段區(qū)間是由 X的取值點(diǎn)劃分成的左閉右開區(qū)間 。 (2) 圖形上表現(xiàn)為階梯形跳躍遞增 。(3)函數(shù)值跳躍高度是 X取值區(qū)間中新增加點(diǎn)的對(duì)應(yīng)概率值 .例 10 設(shè) X的分布函數(shù)為求 X的概率分布 .解 X的取值為 X 0 1 2由此可見返回例如 設(shè)某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的規(guī)定尺寸為 ,已知某批產(chǎn)品的最小尺寸為 ,最大尺寸為 產(chǎn)品中任取 100件 ,得到 100個(gè)測(cè)量值 .計(jì)算得如下數(shù)據(jù)表 : 分組 1 2 5 12 18 25 16 13 4 2 2 頻數(shù) 頻率 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)返回 產(chǎn)品 X尺寸(mm)建立頻率柱形圖如下 :當(dāng) n無(wú)限增大 ,組距無(wú)限減小時(shí) ,頻率分布直方圖就會(huì)無(wú)限接近一條光滑曲線 ,此即為隨機(jī)變量 X的 概率密度曲線 ,以該曲線為圖形的函數(shù)稱為 X的 概率密度函數(shù) .記為 X~f(x).返回(1)f(x)≥0, － ∞x＋ ∞。(2) 顯然 ,連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度曲線具有以下 性質(zhì) 產(chǎn)品 X尺寸(mm)返回對(duì)于 連續(xù)型隨機(jī)變量 X的分布函數(shù) 有(1) (3) F(x)是 (∞,+∞)上的連續(xù)函數(shù) 。 (4) P(X=x)=F(x)F(x0)=0。(2) f(x)=(5) 對(duì)任意 ab有 P(a≤X≤b)= P(a ≤ Xb)= P(aX≤b) = P(a Xb) =F(b)F(a)。 P(Xa)= P(X ≤ a)= F(a)。P(X≥a)= P(Xa) =1P(Xa)=1F(a). 返回例 11 設(shè)隨機(jī)變量 X～求 (1)A。(2)P(1/2X≤1/2)。 (3)P(3X≤2)．解 (1) 即 所以 A=1/πAπ=1,(2)P(1/2X≤1/2)==1/π(π/6+π/6)=1/3(3)P(3X≤2)= =1思考 : P(1/2X≤2)= ?返回例 12 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X滿足解 密度函數(shù)曲線如圖0 1 3 6 xf(x)S1S2=2/3 表示 k點(diǎn)右側(cè)的面積值 .由 f(x)的幾何意義知又由 S2=2/3可知返回例 13 設(shè)隨機(jī)變量 X～求 (1)A。(2)P(1/2X≤1/2)。 (3)F(x)．返回例 14 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為求 :(1)A。 (2)P(X)。 (3)X的概率密度 f(x).解 (1)F(x)在 x=1點(diǎn)連續(xù) ,由左連續(xù)性得 :即 : 所以 , A=1(2) P(X)=F()F()==(3) f(x)= =0 x ≤ 02x 0x10 1≤x即 :返回例 15 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為求 :(1)A,B。 (2)P(1X1)。 (3)X的概率密度 f(x).返回常見的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度(1) 均勻分布稱 X服從 [a,b]上的均勻分布 .記為 X~U(a,b).0 a b xf(x)返回例 16 設(shè)隨機(jī)變量 X服從 [1,2]區(qū)間上的均勻分布 ,求 X的分布函數(shù) .解 如圖 :1 2分析 F(2)= =02 1 3F(1)= =2/3F(3)= =1F(1)xf(x)F(3)(1)x1時(shí) ,F(x)= =0=1(2)1≤x2時(shí) ,F(x)=(3)2≤x時(shí) ,F(x)=
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