概率統(tǒng)計chappt課件(編輯修改稿)
2025-05-28 02:28 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 意得 : ????????其它001)。(~???xxpX?)。, . . . ,( 21 ?nxxxL????? ??其它0,...,0121 ?? nn xxx??ddL 01 ?? ?nn?無解 . 基本方法失效 . 考慮 L的取值 ,要使 L取值最大 ,θ應最小 , ??? nxxx , . . . ,0 21取 ), . . . ,m a x ( 21 nxxx?? 此時 ,L取值最大 , 所以 ,最大似然估計為 ), . . . ,m a x (? 21 nXXX?? 極大似然估計有一個簡單而有用的性質(zhì)：如果 是 ? 的極大似然估計，則對任一函數(shù) g(? )，其極大似然估計為 。該性質(zhì)稱為極大似然估計的 不變性 ， 從而使一些復雜結(jié)構(gòu)的參數(shù)的極大似然估計的獲得變得容易了。 ???()g ?極大似然估計的不變性 例 設 x1 , x2 , …, xn是來自正態(tài)總體 N(? ,? 2) 的樣本，則 ?和 ? 2的極大似然估計為 ，于是由不變性可得如下參數(shù)的極大似然估計，它們是 : 22*, xs????*? s? ?? 標準差 ? 的 MLE是 ； ? 概率 的 MLE是 ； 0 .9 0*x s u??3( 3 )PX ?????? ? ? ???? *3 xs???? ????? 總體 = ? +? 的 MLE是 ，其中 。 167。 點估計的評價標準 對于同一個未知參數(shù) ,不同的方法得到的估計量可能不同 ,于是提出問題 應該選用哪一種估計量 ? 用何標準來評價一個估計量的好壞 ? 常用 標準 (2) 無偏性 (1) 相合性 (3) 有效性 定義 設 ? ∈ Θ為未知參數(shù)， 是 ? 的一個估計量， n 是樣本容量，若對任何一個 ε0，有 () 則稱 為 ? 參數(shù)的相合估計。 1? ? ( , , )n n nxx????l i m ( | | ) 0nnP ? ? ??? ? ? ??n?相合性：估計量隨著樣本量的不斷增大而逼近參數(shù)真值。 相合估計量僅在樣本容量 n 足夠大時 ,才顯示其優(yōu)越性 . 相合性 (一致性） 在判斷估計的相合性時下述兩個定理是很有用的。 定理 設 是 ? 的一個估計量，若 則 是 ? 的相合估計， 1? ? ( , , )n n nxx???? ?l i m ( ) , l i m ( ) 0n n n nE V a r? ? ?? ? ? ????n?1? ?,n n k??1? ?? ( , , )n n n kg? ? ??定理 若 分別是 ?1, …, ?k 的相合估 計， ? =g(?1 , …, ?k) 是 ?1, …, ?k 的連續(xù)函數(shù)，則 是 ? 的相合估計。 例 設 x1, x2 , …, xn 是來自均勻總體 U(0, ? )的樣本，證明 ? 的極大似然估計是相合估計 。 證明： 在例 ? 的極大似然估計是 x(n)。由次序統(tǒng)計量的分布，我們知道 x(n) 的分布密度函數(shù)為 p(y)=nyn1/ ? n, 0y ?, 故 由定理 ， x(n)是 ? 的相合估計。 02 1 202222? d/1? d/2?V a r ( ) 0 , 2 1 ( 1 ) ( 2)nnnnnE ny ynnE ny ynn n nn n n n??? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ???????? ? ? ???? ? ? ????? 由大數(shù)定律及定理 ，我們可以看到： 矩估計一般都具有相合性 。 比如： ? 樣本均值是總體均值的相合估計； ? 樣本標準差是總體標準差的相合估計； ? 樣本變異系數(shù)是總體變異系數(shù)的相合估計。 在一定條件下 , 極大似然估計具有相合性 無偏性 定義 設 是 ? 的一個估計， ? 的參數(shù)空間為 Θ，若對任意的 ?∈ Θ，有 則稱 是 ? 的 無偏估計 ， 否則稱為 有偏估計 。 1? ?( , , )nxx????()E ?????無偏性要求估計值的期望與真值相等 . 例如 ， 用樣本均值作為總體均值的估計時 ， 雖無法說明一次估計所產(chǎn)生的偏差 ， 但這種偏差隨機地在 0的周圍波動 ， 對同一統(tǒng)計問題大量重復使用不會產(chǎn)生系統(tǒng)偏差 . 無偏性是對估計量的一個常見而重要的要求 . 無偏性的實際意義是指沒有系統(tǒng)性的偏差 . 例 設總體 X 的期望 與方差存在 , X 的 ),( 21 nXXX ?樣本為 (n 1) . (1) 不是 ? 2的無偏估量 。 ????nii XXnS122* )(1(2) 是 ? 2的無偏估計量 . ?????nii XXnS122 )(11證 21212 1)(1 XXnXXnniinii ??? ????前已證 證明 2)()(,)()( ?? ???? XDXDXEXE iinXDXEXE2)(,)()( ?? ???)()(1)(1 21212 XEXEnXXnEniinii ???????? ? ????因而 )()( 2222 ???? ????n221 ?? ???nn212)(11?????????? ??nii XXnE故 證畢 . 注：當樣本量趨于無窮時，有 E(s*2) ?? 2， 我們稱 s*2 為
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