概率統(tǒng)計chappt課件(已修改)
2025-05-13 02:28 本頁面
【正文】 不像其他科學(xué) ， 統(tǒng)計從來不打算使 自己完美無缺 ， 統(tǒng)計意味著你永遠 不需要確定無疑 。 Gudmund 第六章 參數(shù)估計 參數(shù) 是刻畫總體某方面概率特性的數(shù)量 . 當此數(shù)量未知時 ,從總體抽出一個樣本， 用所獲得的樣本值去估計參數(shù)取值稱為 參數(shù)估計 . 例如， X ~N (? ,? 2), 點估計 區(qū)間估計 若 ?, ? 2未知 , 通過構(gòu)造樣本的函數(shù) , 給出 它們的估計值或取值范圍就是參數(shù)估計 的內(nèi)容 . ? 一般常用 ? 表示參數(shù)，參數(shù) ? 所有可能取值組成的集合稱為 參數(shù)空間， 常用 ?表示。參數(shù)估計問題就是根據(jù)樣本對上述各種未知參數(shù)作出估計。 ? 參數(shù)估計的形式有兩種： 點估計與區(qū)間估計 。 點估計的思想方法 設(shè)總體 X 的分布函數(shù)的形式已知 , 但含有一個或多個未知參數(shù)： ?1,?2, ? ,?k 設(shè) X1, X2,…, Xn為總體的一個樣本 構(gòu)造 k 個統(tǒng)計量： ),(),(),(21212211nknnXXXXXXXXX??????????????隨機變量 當測得樣本值 (x1, x2,…, xn)時 ,代入上述 統(tǒng)計量，即可得到 k 個數(shù)： ),(?),(?),(?21212211nknnxxxxxxxxx??????????????數(shù) 值 稱數(shù) 1 ?, k??為未知參數(shù) 1 , k??的 點 估計值 對應(yīng)統(tǒng)計量 為未知參數(shù) 的 點 估計量 1 , k??如何構(gòu)造統(tǒng)計量？ 如何評價估計量的好壞？ 問 題 選擇統(tǒng)計量 估計量 代入樣本值 估計值 X分布為 F(x。θ )[θ 待估 ] 167。 點估計的幾種方法 替換原理和矩法估計 一、 矩法估計 替換原理是指用樣本矩及其函數(shù)去 替換 相應(yīng)的總體矩及其函數(shù)，譬如： ? 用樣本均值估計總體均值 E(X)， 即 ； ? 用樣本方差估計總體方差 Var(X)， 即 ? 用樣本的 p 分位數(shù)估計總體的 p 分位數(shù)， ? 用樣本中位數(shù)估計總體中位數(shù) 。 ? ()E X x?2?V a r ( ) nXs?例 對某型號的 20輛汽車記錄其每加侖汽油的行駛里程 (km)，觀測數(shù)據(jù)如下： 經(jīng)計算有 由此給出總體均值、方差和中位數(shù)的估計分別為 : , 和 。 矩法估計的實質(zhì)是用經(jīng)驗分布函數(shù)去替換總體分布，其理論基礎(chǔ)是格里紋科定理。 2 8 .6 9 5 , 0 .9 1 8 5 , 2 8 .6nx s m? ? ?二、概率函數(shù) P(x,θ)已知時未知參數(shù)的矩法估計 方法 用樣本 k 階矩作為總體 k 階矩的估計量 , 建立含有待估參數(shù)的方程 , 從而解出待估參數(shù) 設(shè)待估計的參數(shù)為 k??? , 21 ?設(shè)總體的 r 階矩存在，記為 ),()( 21 krrXE ???? ??樣本 X1, X2,…, Xn 的 r 階矩為 11 n rriiaXn ?? ?kr ,2,1 ??令 ),( 21 kr ???? ????niriXn11—— 含未知參數(shù) ?1,?2, ? ,?k 的方程組 解方程組 , 得 k 個統(tǒng)計量： 1 1 212? ( , , , )? ( , , , )nknX X XX X X?? 未知參數(shù) ?1, ? ,?k 的 矩估計量 1 1 1 212? ( , , , )? ( , , , )nk k nx x xx x x??????代入一組樣本值得 k 個數(shù) : 未知參數(shù) ?1, ? ,?k 的 矩估計值 例 設(shè)總體服從指數(shù)分布，由于 EX=1/?， 即 ? =1/ EX，故 ? 的矩法估計為 ? 1/ x? ?1 / V a r ( )X? ?1? 1/ s? ? 另外，由于 Var(X)=1/?2，其反函數(shù)為 因此，從替換原理來看， ?的矩法估計也可取為 s 為樣本標準差。 這說明矩估計可能是不唯一的，這是矩法估計的一個缺點，此時通常應(yīng)該盡量采用低階矩給出未知參數(shù)的估計。 例 設(shè)總體 X ~ U (a, b), a, b 未知 , 求參數(shù) a, b 的 矩法估計量 . 解 由于 12 )()(,2)(2abXDbaXE ????)()()( 22 XEXDXE ??令 22212)(?????????? baab??2ab X? ???????????? ??? niiXnbaab1222 12??12)??(解得 矩a? 213( ) ,niiX X Xn ?? ? ??矩b?213( ) .niiX X Xn ?? ? ?? 極 (最 )大似然估計 例如 : 有兩外形相同的箱子 ,各裝 100個球 一箱 99個白球 1 個紅球 一箱 1 個白球 99個紅球 現(xiàn)從兩箱中任取一箱 , 并從箱中任取一球 , 結(jié)果所取得的球是白球 . 答 : 第一箱 . 問 : 所取的球來自哪一箱？ 基本思想 : 實際問題 (醫(yī)生看病、公安人員破案、技術(shù)人員進行質(zhì)量檢驗等 )盡管千差萬別 ,但他們具有一個共同的規(guī)律 ,即在獲得了觀察資料之后 ,給參數(shù)選取一個數(shù)值 ,使得前面的觀察結(jié)果出現(xiàn)的可能性最大 . 最大似然估計就是通過樣本值 來求得總體的分布參數(shù) ,使得 取值為 的概率最大 . nXX ,1 ?nxx ,1 ?nxx ,1 ?定義 設(shè)總體的概率函數(shù)為 P(x。? )， ?是參數(shù) ? 可能取值的參數(shù)空間， x1, x2 , …, x n 是樣本，將樣本的聯(lián)合概率函
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