概率統(tǒng)計(jì)chappt課件-資料下載頁
2025-05-01 02:28本頁面
【正文】 ) V a r ( )???????在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用到最小方差無偏估計(jì) . （也稱最佳無偏估計(jì)） 定理 設(shè) x=(x1, x2 , …, xn) 是來自某總體的一個樣本， 是 ? 的一個無偏估計(jì)， 如果對任意一個滿足 E(?(x))=0的 ?(x)，都有 則 是 ? 的 UMVUE。 ? ()x??????V a r ( ) .? ???C o v ( , ) 0 ,? ? ? ?? ? ? ?關(guān)于 UMVUE，有如下一個判斷準(zhǔn)則。 例 設(shè) x1,x2 ,…,xn 是來自指數(shù)分布Exp(1/? )的樣本，則 是 ? 的無偏估計(jì)。設(shè) ? =?(x1 , x2 , …, xn)是 0的任一無偏估計(jì)，則 ( ) /1100( , , ) d d 0inxxnnx x e x x????? ? ?????nXXX n??? 1 兩端對 ? 求導(dǎo)得 這說明 ,從而， 由定理 ，它是 ? 的 UMVUE。 ( ) /11200( , , ) d d 0inxxnnnx x x e x x?????? ? ?????( ) 0Ex ???C o v ( , ) ( ) ( ) ( ) 0x E x E x E? ? ?? ? ? ? ?我們知道如果某個參數(shù)的 UMVUE存在， 則它在無偏估計(jì)類中是最好的， 且其方差不可 能是 零 ， 不是無偏估計(jì)。 因?yàn)閰?shù) 的方差為零的平凡估計(jì) ?那么，現(xiàn)在的問題是： （ 1） 既然無偏估計(jì)的方差不是零， 一個下界， 則必存在 這個下界到底是多少？ 問題 （ 2） 若 UMVUE存在，那么它的方差是否可以 達(dá)到這個下界？ 問題（ 1）已由 CramerRao不等式揭示 問題（ 2）不一定成立， 我們舉例 予以闡述。 CramerRao不等式 定義 設(shè)總體的概率函數(shù) P(x,? ), ?∈ Θ滿足下列條件： (1) 參數(shù)空間 Θ是直線上的一個開區(qū)間； (2) 支撐 S={x: P(x,? )0}與 ? 無關(guān)； (3) 導(dǎo)數(shù) 對一切 ?∈ Θ都存在； (4) 對 P(x,? )， 積分與微分運(yùn)算 可交換次序； (5) 期望 存在；則稱 為總體分布的 費(fèi)希爾 (Fisher) 信息量。 ( 。 )px ????2l n ( 。 )E p x ??????????2( ) l n ( 。 )I E p x??????? ????? 費(fèi)希爾信息量是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中一個基本概念，很多的統(tǒng)計(jì)結(jié)果都與費(fèi)希爾信息量有關(guān)。如極大似然估計(jì)的漸近方差，無偏估計(jì)的方差的下界等都與費(fèi)希爾信息量 I(? )有關(guān)。 I(? )的種種性質(zhì)顯示， “ I(? )越大 ”可被解釋為總體分布中包含未知參數(shù) ? 的信息越多。 例 設(shè)總體為泊松分布 P(?)分布，可以驗(yàn)證定義 ,則 于是 l n ( 。 ) l n l n ( ! )p x x x? ? ?? ? ?ln ( 。 ) 1xpx ???? ???2 1() XIE ?????????????例 設(shè)總體為指數(shù)分布，其密度函數(shù)為 可以驗(yàn)證定義 ，且 于是 1( 。 ) e xp , 0 , 0xp x x??????? ? ? ?????221ln ( 。 ) xxpx ??? ? ? ??? ? ? ? ??22 4 2V ar ( ) 1() xxIE ??? ? ??? ? ???????定理 （ CramerRao不等式） 設(shè)定義 ， x1, x2 , …, xn 是來自該總體的樣本， T=T(x1, x2 , …, xn )是 g(? )的任一個無偏估計(jì)， 存在，且對 ?∈ Θ中一切 ? ，微分可在積分號下進(jìn)行，則有 ()39。( ) gg ??????2V a r ( )[ 39。( ) ]()TgnI???? 上式 稱為 克拉美 羅 （ CR） 不等式 。 ? [g’(θ)]2/(nI(? ))稱為 g(? )的無偏估計(jì)的方差 的 CR下界， 簡稱 g(? )的 CR下界。 ? 特別，對 g(? )=? 時 ,有 。 1?Var ( ) ( ( ))nI?? ??? 如果等號成立，則稱 T=T(x1, …, x n) 是 g(? )的有效估計(jì)，有效估計(jì)一定是 UMVUE。 例 設(shè)總體分布列為 p(x,? )= ? x(1? )1x, x=0,1，它滿足定義 ，可以算得該分布的費(fèi)希爾信息量為 ， 若 x1, x2, …, x n 是該總體的樣本，則 ? 的 CR下界為 (nI(? ))1= ? (1? )/n。 因?yàn)? 是 ? 的無偏估計(jì)，且其方差等于 ? (1? )/n，達(dá)到 CR 下界，所以 是 ? 的有效估計(jì)，它也是 ? 的 UMVUE。 1()( 1 )I ? ??? ?xx例 設(shè)總體為指數(shù)分布 Exp(1/? )，它滿足定義 ，例 的費(fèi)希爾信息量為 I(? ) = ? 2. 若 x1, x2, …, x n 是樣本，則 ? 的 CR下界為(nI(? ))1=? 2/n。 而 是 ? 的無偏估計(jì)，且其方差等于 ? 2/n，達(dá)到了 CR下界，所以， 是 ? 的有效估計(jì)，它也是 ? 的 UMVUE。 xx能達(dá)到 CR下界的無偏估計(jì)不多 : 例 設(shè)總體為 N(0,? 2 )，滿足定義 ，且費(fèi)希爾信息量為 ， 令 , 則 ? 的 CR下界為 可以證明： ? 的 UMVUE為 其方差大于 CR下界。這表明所有 ? 的無偏估計(jì)的方差都大于其 CR下 界。 2 41() 2I ? ??22()g? ? ???2 2 22[ 39。( ) ]( ) 2gn I n??? ?21( / 2 ) 1?2 ( ( 1 ) / 2 )niinn xnn? ?????? ?
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